數學－－一種別具匠心的藝術

數學－－一種別具匠心的藝術

【摘要】數學家哈模斯（P. Halmos）在他的母校伊利諾大學一百週年紀念會的講演。

諸位該認識些數學家吧！請問他們整日價的在幹什麼？我敢說很多人不清楚。我在飛機上和鄰座的人聊了起來，不記得是個醫生或律師了，一付派頭十足的樣子，我真想騙他說我是個到處打零工的，要不然讓他知道了我的身份，他多半會馬上說，他連賬目都弄不清楚，能吃數學這行飯，該多有味道！如果我的隔鄰換個天文學家或生化學家的話，我只有更吃癟了，因為他多半會一口咬定數學家們在幹什麼，譬如說變換變換各種大小的次序呀！或者比較比較二項式的係數和2的指數等等，再不然就是解解有關反應速率的方程式什麼的，整天不外幹這類瑣碎的事情！那樣，數學家豈不太被冤枉了？其實他們搞的根本不是這一套。

那麼，數學家到底在搞的什麼呢？自然是數學了。數學可以大分為二，一是邏輯式數學，一是物理式數學。大抵說來，前者就是平常所謂的純粹數學，而後者則是一般所說的應用數學，只是拿「純粹」和「應用」來劃分，還顯得有點不夠貼切。我本來打算把今天的題目擬成「數學是一種藝術」或者「數學不是一種科學」或是「數學是沒有用處的」，可是越推敲的結果越覺得我實際上是想說「邏輯式數學是一種藝術」，「邏輯式數學不是一種科學」和「邏輯式數學是沒有用處的」。希望在我結束的時候，大多數人能恍然大悟過來：以前被看成數學的，原來只是物理式數學而已。當然，除了希望在座諸君都能因此把邏輯式數學和物理式數學的不同弄清楚之外，更歡迎有人伸出兩臂來擁抱、讚詠邏輯式數學，最最起碼，希望大家能看出它實在值得人們不遺餘力的去探討。

讓我們先看看數學家們不在做什麼。第一，他們幾乎和數字絕緣。數學家不一定算得好加減乘除，就好像畫家不一定畫得好一條直線、外科醫生不一定會殺得好一隻母雞一樣，不足為奇──傳說歸傳說、錯覺還是錯覺。雖然數學中有一門叫做數論，但也沒有像一般傳說那樣的探討著數字。數論學家可以說和計算機是風馬牛全不相干。一部機器可能會陶醉在證明13+53+33=153的過程中，甚至可能發現其他四個正整整數也具有以上的性質，即1，370，371，407。可是數論學家就不然了，他們所欣賞嘆服的是像這樣的定理：每一個正整數都可表成少於五個整數的平方和。想想這牽涉到無窮多的「每」字，能不使一般的計算機驚慌而癱瘓嗎？我想這些，恐怕也是你們從來沒想到的吧！甚至連那些左右現代文明的神奇怪物，諸如科學小說、電腦等等，也都不在數學家的眼裡。數學家感到興趣的是其中的邏輯問題：如何化繁為簡，好讓那些低能的機器能夠接受。因此計算機的邏輯設計雖是數學，它的建造卻不是數學而是工程學，至於它的產品，不論是一宗分了類的郵件，或是一架超音速噴射機等，一概不具任何數學上的旨趣和價值。

數學固然不是數字或機器，它也不是利用三角來測定山高，用代數來算出複利，用積分來求得轉動慣量。今天這些全不是數學了，儘管在過去曾經赫赫一時，但問題解決之後，一再的拿來重複應用，在數學上來說，就好像通訊兵的操縱馬可尼的天才發明一樣，值不得一笑了。

抑有進者，數學絕對不是物理。有些人常把數學和理論物理混為一談，因此愛因斯坦被當成偉大的數學家來歌頌。不錯，愛氏是個偉人，但要說他是個大數學家並不比說他是個大音樂家來得恰當多少。無可否認的，他確曾利用了數學去尋得宇宙間的至理；微分幾何學的身價在世俗的眼光中也確實提高了不少，只緣其中某些東西被愛氏成功的應用上了。可是，不論如何，相對論和微分幾何學畢竟還是兩碼子事。

另外有一些東西，以前確曾是數學的一部份，現在固然還是，不過經過了多年的探討，早已幾近水落石出的地步，那些僅存的一點神祕，也幾乎可以立竿而見影，因此被數學家們無情的丟在一旁了。著名的希臘問題（三等分角、倍立方、方圓），就屬於這一類，只有一些不明究裡的非數學家還在那裡一味的蠻幹。也許大家早聽說過，數學家們認為不可能使圓變方，不可能三等分一個角，已經掛起免戰牌來，因此大家認定他們只不過是一群膽小怕事的無賴，不敢面對現實倒不打緊，居然還有臉堆出一大套道理來掩飾自己的無知，真是無恥之極。數學家果真被人這樣的數落，不免太冤枉了，我想乘機澄清一下。

三等分角問題是這樣的：給一個角，試求另一個角其大小為已知角的三分之一。這問題有什麼難呢？我隨手就可以舉出幾個解法來。不過關鍵在於原先希臘人限定只能用圓規和直尺。即便如此，我也能舉出一個簡單的解法來，包管三分鐘內使大家滿意。不過，希臘人當初還限制了規尺的用法，譬如說在直尺上標兩點之後用來解題是不許可的。當今的角三等分者可能根本就不知道有些什麼限制；有些人也許懂得，但他們以為能求個相當精確的近似值就成了；當然也有人是知道怎麼回事的，但他們捨不得罷手，只夢想著那一天碰出運氣來，殊不知這乃是自愚而已。大部份人的態度就好像其他星球來的訪客看高爾夫球賽一樣──如果你們的目的是想讓那個小球進洞的話，為什麼不乾脆走過去把它丟進洞裡算了！

還有，對數學家所謂的「不可能」，我也想利用這機會向大家做個交代。如果一個數學家說某某事不可能，他並不是說那件事有多難多難，固然他個人力難勝任，就是窮全人類的力量也不會有完成的一天。這不過是一般常識上的觀念而已，譬如說，人不可能在離開地面只有五哩的空中以超音速飛行；不可能馬上就和千哩外的親人交談；不可能用穴學上的祕方造就出既聰明絕頂又愛好和平的人種來。數學家們所指的不可能，和這些不同。他們說的是邏輯上的不可能。當一個數學家說，不可能去找到一個正整數加上10還小於10，他只是在提醒人們正數、加法、小於等數學名詞的意義而已；當他說不可能用圓規和直尺去三等分一個角時，他的用意也是相同的，不過這次他所要表達的，寫一行說不清楚，寫兩行也不成，寫一頁不成，十頁也不成，而是要寫一本書才能交代清楚的呢！

沒有人曉得數學是在何時何地怎麼發跡的。不過，我們可以猜想到它是從物理上的原始觀察諸如數數、測度等導引出來的，我想我們每個人多少都具有上述的數學內涵。許多數學的觀念大抵源自日常事物，很　數是從純粹的思考而得的，這不但以前如此，現在亦復如此。人類自從發覺有數數羊群裡的羊的必要以來，就開始對數目、形狀、運動以及排列等產生了遐想，對人的心靈來說，這些似乎和水火土氣有著同等的吸引力，因而構成了數學的原始材料。像「群」那樣的基本觀念，對探討「對稱」這原始觀念來說，可算是做到了天衣無縫的地步，而研究拓樸空間和微分幾何的人們，則努力地想使形狀和運動等模糊的觀念精確化。

為什麼數學家要研究這些呢？他們又何苦呢？他們的動機到底在哪裡呢？人們又為何會鼓勵他們呢？讓他們不愁溫飽而有足夠的時間去思考呢？我想大概是因為數學是實用的同時又是一種藝術的關係吧！對既存數學的新應用固然與日俱增，而應用需求的驟增也大大地刺激了更多實用數學的出籠。同時，跟著數學的成長，研究它的人也源源的倍增，更多新的觀念有待闡明，更多新的邏輯相互關係有待研討、瞭解並簡化，就這樣數學的樹上開滿了更多更多炫麗的花朵，而在苦心栽培的園丁們眼中，樹榦樹根反而顯得遜色多了。

今天，數學可以說是相當的活躍，有上千的雜誌發表著各類數學上的論著，每年總有一萬五千到兩萬篇之多。近百年來數學上的輝煌成就，在質與量兩方面都超過了以前的總和。君不見那些絆倒希伯特（D.Hilbert 1862－1943）、康托（G.Cantor1845－1918）、彭加瑞（H.Poincaré 1854－1912）等等一流高手的難題正接二連三的被一大堆嘴上無毛的或者蓄著鬍子的年輕小夥子們在伯克萊、在奧德薩解決著、闡釋著並且推廣著嗎？

數學家們有時在自己人中區分為解題者和立論者兩類。前者不外回答「是」「否」並討論各種重要的特別情形和具體例子，如此提供了數學的肉體和血脈；而後者則設法把那些結果裝進骨架裡修飾一番後擺向確定的方位去，如此提供了數學的軀幹和靈魂。固然有些數學家可以兩者俱兼，但越壘的人並不多見。具體一點說，在解題者製造幾何學上的建材當兒，立論者則鋪打著他歐氏幾何學的地基；在解題者探究開關線圖的奧祕當兒，立論者則證明著他布爾代數中的表現定理。不論上述的哪一種，數學各部門在一個世代內的長進，往往是會令人驚異不置的。因此，當今之世，有資格被稱為數學家的人，莫不對同調代數、微分拓樸和泛函分析都有或多或少的認識，而每一位數學家大概也都至少是其中一門裡頭的專家，可是一九三○年代當我還在唸書的時候，這些學科還沒有正式被命名呢！只記得當時在書報討論會上隱約的聽到過有這些東西存在而已。

要說數學是一種抽象的思考，是一種純粹的邏輯，是一種富有創造性的藝術，也許都錯了，不過也不能說是全錯，至少沒有「數學是數字」或者「數學是幾何形狀」那樣離譜。對職業的純數學家們來說，數學應該是一組精要中肯的假設，和另一組出人意表的結論，經由風格優雅的證明所兜成的邏輯式吻合。

各位要知道，數學上的創作絕對不是推論式的。數學家們往往要先做些模糊的猜測，揣摹著可能的推廣，跟著就斷然下了不十分有把握的結論。然後，不斷的整理他的想法，直到他看出了事實的端倪，其後還要費好大的勁兒，才能將一切付諸邏輯式的證明。這些都不是一蹴可及的，往往要經過許多的失敗和挫折，一再的猜測和揣摹，在試驗中白花掉幾個月的時間是常有的事。這裡所說的試驗並不用試管或加速器，而純然是思考上的。一個數學家在証明無限度希伯特空間的某一定理之先，早就把二度的和三度空間上的情形仔細的想過了，然後試試某一個更高度的空間企圖從中摹出躲在死角裡的奧祕來，這點奧祕一經探得，那些刻板的推論和嚴密的證明在相形之下，就顯得平淡無奇了，就好像是製圖員的而非建築師的工作一樣。

底下所要舉的例子，雖然不能盡善盡美地描繪出數學的堂奧，但希望藉此收到以偏蓋全的功效。假設有1025人參加網球大賽，採單淘汰，抽籤決定對手，吊單的人免戰晉級，直打到冠軍出來為止，請問一共賽了幾場？這個問題的解法有好幾種。第一種是直截了當的去算：第一回合共賽了512場，第二回合256場，第三回合128場，接著是64，32，16，8，4，2，1，1（倒數第二回合時三個人抽出兩個人來打一場，一個人吊單，最後一回合由僅剩的兩人對打一場，打出冠軍來。）把前面的數字一一加起來得到1024，就是答案。有些自以為數學好的人也許會利用求幾何級數和的方法，去算出1，2，4，8，16，32，64，128，256，512的和來，然後再加上1而得到1024。可是把1025換成1000的話，那些人也得意不起來了，他們還是得老老實實的把500，250，125，62，31，16，8，4，2，1一一加起來而得999，因為求幾何級數和的方法再也用不上了。因此那些人的數學實際上並不比一般人高明。數學家可就不同了，他根本不用去算，只要想想打到冠軍出來為止，除了冠軍外，每個人都不多不少的輸過一次，因此只要把與賽的人數減去1，就得到賽過的總場數了。難道數學家們天天想的就是這一類的問題嗎？那倒不然，以上的數子只是個比方而已，不過如果你有從一滴水聯想得出整個海洋的本領的話，你就可能從上述的網球大賽聯想出整個數學來。

我說了半天數學，其實我多半是指涉著邏輯式數學而不是物理式數學。不知為什麼，對於兩者間的差異，專攻後者的人主張予以漠視，而專攻前者的人則一力的加以強調。差不多每一個數學家都屬於其中的一個陣營，很少有腳跨兩條船的。我天生就注定是學純粹數學的料子，再加上後天的際遇，已經成了不折不扣的邏輯式數學家。可是在今天的場合，我還是儘量不作片面之詞，因此我首先要說，邏輯式數學和物理式數學的確有許多相似之處。何況，歷史上的種種跡象顯示，一切的數學到頭來都源自於物理學的領域。由此看來，要說所有的數學都是應用的，實在不過份。獻身於邏輯式數學和物理式數學的人各應具備的才能之間，可以說是關係密切的，他們的作品也經常是難以區分的。就我所知，兩者間的主要不同在於好奇心的如何驅使。讓我說得更具體些，大家都知道，投擲一對骰子，骰面上數字的和，從2到12不等，請問它們出現的可能都一樣嗎？（出現的或然率是不是都一樣？）雖然問的有點古怪，但這是個道地的數學問題，它早被解決了，解法並不簡單。我把這問題提出來，無非是想讓大家稍為動動腦筋而已，如果你考慮的骰子內部是否均勻分配，那麼你八成是個物理式數學家的胎子；如果你考慮到擲出和為7（或2至12間的任何數）的各種可能情形，那麼你大概是塊邏輯式數學家的材料。

物理式數學家太急於知道事實的真相，以致於常常會對邏輯式數學家那種錙銖必較的賣弄玄虛感到不耐。而邏輯式數學家則重於各種見解的澄清，因此還是我行我素的講求風雅，有時高興起來還會拿「優美」一詞來讚賞一段好的證明。意圖既已分殊，旨趣和價值判斷自然就相異了。

作為一個邏輯式數學家，我喜歡無所為而為的態度，如杲一個醫生說，他學醫的動機是在救人，我就會覺得不自在，我倒希望他說，他之所以學醫，是因為他喜歡醫學，是因為他有自信去學好它。甚至於說想學醫是因為在高中時生物的成績很好的緣故，我也會覺得好過些。我就愛那自求多福的意境，在醫學上如此，在音樂上如此，在數學上更如此。

講到這裹，我想起了近兩個世紀來最偉大的數學家希伯特的一則軼事。有一次他正在準備一篇演講稿，有人建議他趁這機會插進幾句公道話，藉以緩和純粹和應用數學兩者間的衝突，不料他卻反口說，這兩方面根本就各不相干，哪來衝突嘛！說得那人無言以對。

我覺得大部份的數學之能立身於卓卓聲譽之中，完全歸因於它本身所蘊藏的趣味。希臘的三等分角問題、著名的四色問題以及哥得（K. Goedel, 1906－）在數理邏輯上的偉大貢獻之所以能成為數學中的皎皎者，主要是由於它們是優美的，震人心弦的，是引人入勝的緣故。各位一定有過困惑於某些益智遊戲而弄得茶飯不思的經驗吧！那麼，為什麼數學在自我陶醉之餘，還非要有實用價值不可呢？

在講求開放的知識領域中，為什麼數學會孤芳自賞的在那裡昂首闊步呢？這大概是因為數學是一種語言的關係。我們總不能因為自己不懂法文而責怪那些法國人圈子裡的高談闊論吧！想和他們交通，就得下一番苦功去學他們的語言，要不然只好任他們去了。如果自己不去學，就沒有理由譴責人家藏私。我以為人們對數學的態度，也自應該如此才對。數學家既然花了很長的時間才學好他自己的語言，對於沒有學過而一竅不通的人，自然會予以輕視。不過有時在雞尾酒會中碰到了那些在杯酒之歡的幾分鐘就想學會這種語言的人們，不免很難按捺得下性子了，因為你會覺得教也不是，不教也不是。如果教了不懂，他們會笑你差勁沒用，不教的話，小心他們罵你擺臭架子。

最後，讓我們來看看數學和繪畫間的諸多相似之處。經驗世界不但是繪畫的發端，而且也是數學的發端，然而畫家並不是一架相機，數學家也不是一個工程師，因此逼真程度的講求實在是很微妙的；要求畫家作具體的描繪，就好像要求數學家解實際的問題一樣的不近情理，因為現代畫和現代數學早已遠駕於一般的鑑賞能力之上了，雖然不時透著實體的芬芳，卻不像平面幾何和健康圖表那樣充斥著現實的氣味。

如果你觀察入微的話，不難發現許多數學上和繪畫上的創作有著異曲同工之妙，而許多數學家和畫家們的傳聞也往往是相映成趣的。透視的發明，正如零在數學上的功能一樣，在繪畫上有著無窮的妙用。儘管口味在變，古老的繪畫絕不比近代的差，古典的數學也不稍遜於摩登的數學。一幅繪畫畫好了還要掛出來讓人流覽，一個定理證好了也必需印出來經人過目，徒然醉心著美畫的畫家和一味夢想著好定理的數學家都可以說是半吊子；所有不公開的作品都算不上完美。在數學上也好，在繪畫上也好，都存在有客觀的評審標準，畫家們注重結構、線條、形態和組織，而數學家們講求真實、正確、新奇及推廣。有些專家們並不主張把這類客觀的標準向後進的新銳們灌輸，唯恐他們予以濫加曲解或過份渲染，同時也怕因這一分心而錯失了更重要的主觀標準。要知道，繪畫和數學一樣，有其史實、傳統和成長的。新進喜歡一窩風的趕時髦，但絕大多數人都沒抓到要領，火候練得不夠，到底是技遜一籌的。

以上只是和各位淺談數學，而不是深論數學。因此恕我提不出數學上的證明。可是，我希望各位都能有所得：不但知道有數學（說成邏輯式數學更為恰當）這麼一門學問，而且還承認它是一種別具匠心的藝術；這點我個人是深信無疑的。謝謝各位。

（作者通訊處：伊利諾大學數學系）