數學家的故

數學家的故事

笛卡兒
笛卡兒生在一個富有律師的家庭，自幼身體柔弱，父母允許他在床上作功課，久而久之就形成習慣，之後，他一輩子都是這樣。20歲畢業於Poityers 大學法律系，之後，前往巴黎跟Mydorde和Mersenne學了一年數學，由於解決了荷蘭Bredas廣告牌上的一道難題，而信心大增，從此認真學習數學、研究數學。

他由哲學家、自然界、科學應用來看數學，他認為數學的偉大在於其證明所依據的公理是無缺點的，數學是獲得確定和有效證明的方法，而且數學是形而上的。他說：「數學是人類知識活動留下來最具威力的知識工具，是一些現象的根源。數學是不變的，是客觀存在的，上帝必以數學法則建造宇宙。」

笛卡兒說：「希臘幾何太過抽象，他只是用來訓練瞭解，使想像力大為疲勞的工具罷了！而代數太過於遵守原則和公式，計算過於繁雜，不是一門改良心智的科學。」

所以他把代數應用到幾何，在西元1637年，他寫了一本幾何學(LAG'eom'etrie)。該書難懂，他吹牛說歐洲少有數學家可以看懂它，他對作圖和說明只起頭，而將過程留給讀者自證，他說他的書如同建築師一樣，把計畫和設計圖鋪好，其它的瑣事留給泥水匠和工人。

他為了讓幾何問題有一定的思考發法，發明了坐標幾何。基於坐標，幾何圖形可以被表示為坐標之間的運算關係，幾何問題也就變成解方程式的問題了。他研究巴伯斯(Pappus)所提出："求平面上一動點ｃ的軌跡"的四線問題時，引入了坐標的觀念，考慮動點，它到這四條線的距離dn，n=1,2,3,4，若滿足kd1d2=d3d4，k是常數，則這些動點的軌跡如何？前人只能就某些特殊相對位置的四條直線求解,但是笛卡兒說引進坐標的dn是一次式，而kd1d2=d3d4則為動點坐標的二次方程式，所以軌跡是一圓錐曲線。

值得一提的是，當時笛卡兒或者費瑪所提出的坐標都只考慮正數，而且並不是先定好兩軸，是以一直線和一固定的夾角為已知，並不需要先畫出ｙ軸即可描述點的位置。由他所設的坐標系，笛卡兒導出動點軌跡的方程式，他並將不同的曲線放在同一個參考軸上，利用解聯立方程式來求它們的交點。

除此之外，笛卡兒經由坐標幾何的發展，賦予了幾何曲線更寬廣的空間。這點可以從古希臘的幾何談起。古時希臘的幾何多以圖形為主，他們把曲線分為立體曲線、平面曲線、線性曲線三種；立體曲線即圓錐曲線，平面曲線即能以直尺和圓規作出來的圖形，其他的皆為線性曲線，線性曲線被認為不能登大雅之堂。笛卡兒不同意希臘人對線性曲線的觀點，他首創幾何曲線是能以唯一的ｘ、ｙ之有限次方程式表示的曲線，對於任意一個ｘ、ｙ的方程式，都可以畫出它的圖形，由此他開拓了一個新的研究領域，對於一些以前不被接受的幾何曲線賦予了新的意義。
西元1649年，被邀請擔任瑞典皇后Christina的家教，1650年死於肺炎。

高斯

高斯（Carl Friedrich Gauß，公元1777年4月30日─公元1855年2月23日）是德國數學家、物理學家、天文學家。生於不倫瑞克，卒於哥廷根。高斯是近代數學奠基者之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德（Archimedes）、牛頓（Newton）、歐拉（Euler）並列。他被公認為有史以來最多產和影響深遠的數學家之一，有「數學王子」之稱。

　　高斯幼年時就表現出超人的數學天才，為人所熟知的是他在小學時便懂得等差級數（Arithmetic Series）的計算方法，令他的老師也大為震驚。1795年進入哥廷根大學（Universität Göttingen）學習。第二年他發現正十七邊形的尺規作圖法，並給出可用尺規作出的正多邊形的條件，解決了歐幾里得以來懸而未決的問題。1798年轉入黑爾姆施泰特大學，1799年獲博士學位。他從1807年開始擔任哥廷根大學的教授和哥廷根大學天文台（Universtäts Sternwarte Göttingen）台長，並受命於政府對漢諾威王國進行三角測量。

　　高斯的數學研究幾乎遍及所有領域，在數論、代數學、非歐幾何、複變函數分析學、統計學和微分幾何等方面都做出了開創性的、廣範而多樣化的貢獻。他還把數學應用於天文學、大地測量學、電學、磁學和重力的研究，發明了最小二乘法原理。他在年僅22歲時完成的博士論文中就發展了複數的概念，並用以建立代數基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）。他的數論（Number Theory）研究總結在他的1801年發表的《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）中，這本書奠定了近代數論的基礎，它不僅是數論方面的劃時代之作，也是數學史上不可多得的經典著作之一，而數論也成為一個完整的數學分支。高斯對代數學的重要貢獻是證明了代數基本定理，他的存在性證明開創了數學研究的新途徑。高斯在1816年左右就得到非歐幾何的原理，發現橢圓函數的雙周期性，但這些工作在他生前都沒發表出來。他還深入研究複變函數，建立了一些基本概念並發現了著名的「柯西積分定理」（Cauchy's Integral Theorem）。1828年高斯出版了《關於曲面的一般研究》，全面、系統地闡述了空間曲面的微分幾何學，並提出內蘊曲面理論。高斯的曲面理論後來由黎曼（Riemann）進一步發展。高斯一生共發表155篇論文，他對待學問十分嚴謹，只是把他自己認為是十分成熟的作品發表出來。其著作還有1839年的《地磁概論》和1840年的《論與距離平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。

　　由於高斯的對數學的貢獻很大，所以有不少記念他的物品，最為人所知的是德國的十馬克紙幣以印有高斯的肖像，此外還有郵票和以他的名字命名的獎項「高斯獎」（Gauss Prize）等。

畢達哥拉斯
西元前六世紀，大約是孔子生活的時代，畢達歌拉斯生於愛琴海上的摩斯島(Samos)，他一生充滿傳奇和神秘，令歷史學家很難分清事實和虛偽。似乎可以肯定的一件事是畢達歌拉斯發展了數學的邏輯思想，對於數學發展史上的第一個黃金時期影響甚鉅。他認識到數是獨立於有形世界而存在的，對數的研究不會因感覺差錯而受影響，數不是僅用於計算和記帳而已。

畢達歌拉斯歷經20年的海外旅遊，到過印度、埃及、巴比倫，他瞭解這些世界的數學雖然是一套複雜的系統，但都僅僅是用來解決實際生活問題的工具。當他回到摩斯島後，他建立一所學校叫畢達歌拉斯半圓，致力於哲學研究，他想理解數學，而非僅僅使用數學。初期，畢達歌拉斯花錢請一位小男孩成為他的第一位學生，每聽一節課就給予三銀錢，幾星期後，畢達歌拉斯注意到學生由勉強學習轉變成對知識的熱情。他佯裝不再有能力支付學生，因而停止上課，這時，學生反而寧可付錢聽課。

畢達歌拉斯因社會改革的觀念不受歡迎，帶著母親和信徒逃到義大利南部的克羅敦(Croton)，他得到富人米洛(Milo)的資助，後來還娶了他的女兒西若(Theno)，米洛是一位為傑出運動員，力大無窮，曾12次獲得奧林匹亞競賽金牌，並醉心於數學和哲學的追求。

畢氏建立畢達歌拉斯兄弟會，崇拜整數、分數為偶像，他們認為透過對數的瞭解，可以揭示宇宙神秘，使他們更接近神，事實是一個宗教性社團組織。入會時需宣誓不得將數學發現公諸於世，甚至在畢氏死後，有成員因公開正12面體可由12個正五邊形構成的發現而被迫浸水致死。他們集中注意於研究自然數和有理數，特別是完美數，它是本身正因數（除了本身之外）之和，例如：6=1+2+3、28=1+2+4+7+14。他們認為上帝因為6是完美的，因此選擇以6天創造萬物，且月亮繞行地球一週約28天。

畢氏建立畢達歌拉斯兄弟會後不久，撰造了「哲學家(philosopher)」一詞，在一次出席奧林匹亞競賽時，弗利尤司的里昂王子問他會如何描述自己，他回道：「我是一位哲學家。」他解釋說：「有些人因愛好財富而被左右，令一些人因熱中於權力和支配而盲從，但是最優秀的人則獻身於發現生活本身的意義和目的。他設法揭示自然的奧秘，熱愛知識，這種人就是哲學家。」

「在一個直角三角形，斜邊的平方是兩股平方和。」這個定理中國人（周朝的商高）和巴比倫人早在畢氏提出前一千年就在使用，但一般人仍將定理歸屬於畢達歌拉斯，是因為他證明了定理的普遍性。而一般認為畢氏的證明應是利用了面積重組的方式。畢氏認為尋找證明就是尋找認識，而這種認識比任何訓練所累積的經驗都不容置疑，數學邏輯是真理的仲裁者。

畢氏很少公開露面，他雖然向學生教授數學和哲學，但絕不允許學生將之是外傳，也因為兄弟會隱瞞數學發現，漸漸引起居民的畏懼、妄想和猜忌。後來因學派介入了政治事件，與學校所在地科落頓行政當局發生衝突，終於誘使居民毀了這學派，80歲時畢氏在一次夜間騷亂中被殺，而避居國外的信徒，繼續傳播他們的數學真理。

對畢達歌拉斯而言，數學之美在於有理數能解釋一切自然現象。這種起指導作用的哲學觀使畢氏對無理數的存在視而不見，甚至導致他一個學生被處死。這位學生名叫希帕索斯，出於無聊，他試圖找出的等價分數，最終他認識到根本不存在這個分數，也就是說根號2是無理數，希帕索斯對這發現，喜出望外，但是他的老師畢氏卻不悅。因為畢氏已經用有理數解釋了天地萬物，無理數的存在會引起對他信念的懷疑。希帕索斯經洞察力獲致的成果一定經過了一段時間的討論和深思熟慮，畢氏本應接受這新數源。然而，畢氏始終不願承認自己的錯誤，卻又無法經由邏輯推理推翻希帕索斯的論證。使他終身蒙羞的是，他竟然判決將希帕索斯淹死。這是希臘數學的最大悲劇，只有在他死後無理數才得以安全的被討論著。後來，歐幾里德以反證法證明根號2是無理數。

費瑪
費瑪（Pierre de Fermat）是一個17世紀的法國律師，也是一位業餘數學家。之所以稱費瑪「業餘」，是由於他具有律師的全職工作。著名的數學史學家貝爾（E. T. Bell）在20世紀初所撰寫的著作中，稱費瑪為「業餘數學家之王」。貝爾深信，費瑪比他同時代的大多數專業數學家更有成就。17世紀是傑出數學家活躍的世紀，而貝爾認為費瑪是17世紀數學家中最多產的明星。

費瑪的父親多米尼克．費瑪（Dominique Fermat）是一位皮貨商，同時也是波蒙特－洛門地區的第二執政官。他的母親克萊兒．德．隆格（Claire de Long）則出身於國會法官世家。費瑪於1601年8月出生（於8月20日在波蒙特－洛門受洗），而父母一心要栽培他成為地方首長。他幼年在杜魯斯求學，30歲時就任同一地的請願委員，同年與露薏絲．隆格（Louise Long）結婚，育有三子二女，其中一個兒子克雷門．山繆．費瑪（Clement Samuel Fermat）成了他科研上的主要助手，並在費瑪逝世後，整理出版了他的工作成果。事實上，這份出版品也就是今日聞名已久的費瑪最後定理之出處。
由於家境富裕，父親特意給他請了兩個家庭教師，不入學校而在家裡接受系統教育。小時後的費瑪雖稱不上是神童，卻也相當聰明。費瑪父親比較開通，並不寵愛孩子，因此費爾瑪學習十分努力，文科、理科都學得不差，不過，他最喜歡的功課，還是數學。1617年，費瑪準備考大學，父親希望他讀法律，費瑪也喜歡這門學科，所以沒有多大的爭議，就接受了父親的安排。畢業後，費瑪接受一個事務所的聘請，成了一名律師。由於工作認真，並熱心於社會福利事業，30歲那年，他被選為家鄉-圖盧茲的地方議會議員。 費瑪潔身自好，並不汲汲於名利，因此，平時比較空閒。閒餘時間，他常看些古書，尤其愛讀古希臘的數學名著。他不時作些題目，並進行數學研究，與當時的數學名家，如巴斯卡、笛卡兒、渥里斯等人通信，交流心得體會。

費瑪雖說是一位業餘的數學愛好者，但由於他刻苦鑽研，又敢於進行創造性的思考，所以取得的成果豐碩。他在解析幾何、數論、無窮小分析〈微積分之前身〉和概率論方面，都有重要之貢獻。費瑪私淑戴奧弗多斯，來研究數論，師從希臘幾何學家，特別是阿波羅尼，來研究曲線，他曾和其他的人重建阿波羅尼失傳的著作"On Plane Loci"。在代數上已有所得後，他獻身於曲線的學習，而寫成《Ad Locos Planos et SolidosIsagoge》(平面和立體軌跡入門)一書。費瑪對於軌跡的研究有一般性的方法，這是古希臘所未能辦到的。我們不知他的坐標幾何是如何孕育出來的，他對韋達利用代數解幾何問題應是相當熟悉，但更可能的是他將阿波羅尼的結論直接轉換成代數式。在1638年笛卡兒發表其《La Ge`ome`trie》大作後的第二年，費瑪寄給他一份如何找切線的論文。他與笛卡兒並列為解析幾何的發明者。
檢查極大和極小問題時，他先使一代數方程的變數作微小的變動，然後使這變動消失。他還運用無窮小的思想到求積問題上，已具今日微積分的雛形。這也是費瑪的卓越成就之一，他在牛頓出生前的13年，提出了有關微積分的主體概念。牛頓以及同時代的萊布尼茲共同探討運動、加速、力、軌道以及應用數學上連續變化的理論，而這也是後世所稱的微積分。

在數論方面，一直到高斯提出他的貢獻之前，費瑪的研究始終左右著數論的研究方向。他寫過許多關於數論的定理，但頂多只給予簡略的證明，數論上有許多重要事項與費瑪的名字相連，他可說是近代數論的開創者。。他的費瑪大定理："xn+ yn=zn，n≧3時，沒有正整數解"，成為古今數學一大謎，多少的數學家投入這個問題，經過300多年的努力仍無成果，直到1993年才由懷爾斯解決。德國數學家P.Wolfshehl在1908年過世時遺贈十萬瑪克給Gottingen大學裡的德國科學學術院，懸賞能夠解決費瑪大定理的人。這獎金已吸引了數千人，然而沒有一個人提出正確的證法。此問題誤證之多，數學史上無出其右。
費瑪和帕斯卡是概率論早期的創立者，本來概率論是因應保險事業的發展而產生，但刺激數學家思考概率論的一些特殊問題，往往來自賭博者的請求。他與巴斯卡分享開創概率論的榮譽。

尤拉
尤拉707年4月15日生於瑞士巴塞爾附近，父親是一位牧師。15歲進入巴塞爾大學修習神學和希伯來語課程, 並跟隨白努力(JohnBernonili)研究數學，白努力(JohnBernonili)熱心地每週單獨為他上一次課。尤拉的父親一直希望他放棄數學而專心研讀神學，還好白努力父子對他父親誇說尤拉將是一位偉大的數學家，父親才讓步。17歲時，獲得碩士學位。十九歲，發表船桅方面理論得到法國國家科學院表揚。在Nicholas和Daniel的推薦下遠赴俄國St.Petersburg學院教書， 擔任Daniel教授的助教, 不久就由助教躍升為教授。
在德國Frederick大帝的邀請下，西元1741年前往柏林，直到1766年。在柏林期間受聘擔任普魯士國王姪女的家教，教授的科目包括數學、天文、物理、哲學和宗教。後來將講義編輯成書出版，書名叫。尤拉幫Frederick大帝研究保險制度，運河和水利的設計。他在德國25年期間共發表了論文數百篇。

1730~1740這十年他沉沒埋頭於研究工作，他的右眼在這期間失明了，據傳是他為了解開一題天文學問題來取得巴黎懸賞的獎金，而花了三天三夜解題，雖然解決了，不過他也病倒了，病中右眼失明。西元1766年59歲時應俄國Catherine之邀返回俄國。返回俄國不久，左眼也因白內障盲了。在他人生的最後17年是兩眼全瞎之下度過的，尤拉憑著過人的記憶，對三角和分析的公式、定理都瞭若指掌，計算能力比明眼人還快。他是一位多產的數學家，平均每年都有高水準的論文約800頁，屢獲獎賞。許多論著和400多篇論文都是在瞎眼以後完成的。尤拉全集有70冊，著書中以下三本最著名：Inoductio In Analysin Infinitorum(1748)無窮相分吸引論，Institutiones Calculi Differentialis(1755)微積分概論，3本Institutiones Calculi Integralis(1768-1770)積分學概論。他的作品數量驚人，範圍涵蓋微積分、微分方程、解析幾何、微分幾何、數論、級數、數學物理等。難得有人能像他一樣將各種數學知識連貫一起，導出這麼多的新結果，例如：Euler 公式,Euler多項式、Euler常數、Euler積分和Euler線。
尤拉不但在數學論著上多產，他也有十三個小孩。他為人慈祥，個性溫和，人格高尚，從不妄自尊大，譽滿學林。並常跟小孩和孫子玩數學和科學遊戲。1783年9月18日逝世於聖彼得堡。

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