數學的『王者之路』

數學的『王者之路』
前言



這次負責撰寫二中學報數學專題，想了一想，覺得如果還是拿一些數學專題，用可怕的方程式、不等式來嚇同學，恐怕還是留於形式，因此決定換個方式。
恰好最近在書局買了一本"數學嘉言繽紛錄"，發現裡面有一些好的東東，可以跟同學們分享。中學生通常是"聞數色變"的，大概除了少數的"異類"、"鬼才"外，才會說喜歡數學。對高一的學生來說,虛數單位i , 是一個很抽象的符號概念,因為國中的學生,是靠感官來思考的,看的到摸得到才承認其存在,偏偏數學的概念卻又多是無法"眼見為憑"。常跟學生舉這樣的一個例子：『如果一個人一出生下來是瞎子,該如何跟他介紹天上的太陽呢? 』，而數學老師的工作，卻是經常在做這種事。數學是什麼﹖如何學好數學﹖為什麼一位數學家會窮其一生投入在這般符號與抽象概念的世界，至死不悔﹖相信讀了這篇文章之後，同學會有一些啟發。

數學是什麼



高斯(數學王子)說：『數學是科學之王』

羅素說：『數學是符號加邏輯』

畢達哥拉斯說：『數支配著宇宙』

哈爾莫斯說：『數學是一種別具匠心的藝術』

米斯拉說：『數學是人類的思考中最高的成就』
培根(英國哲學家)說：『數學是打開科學大門的鑰匙』
布爾巴基學派(法國數學研究團體)認為：『數學是研究抽象結構的理論』

黑格爾說：『數學是上帝描述自然的符號』
魏爾德(美國數學學會主席)說：『數學是一種會不斷進化的文化』
柏拉圖說：『數學是一切知識中的最高形式』
考特說：『數學是人類智慧皇冠上最燦爛的明珠』

笛卡兒說：『數學是知識的工具，亦是其他知識工具的泉源。所有研究順序和度量的科學均和數學有關。』

恩格斯(自然辯證法哲學家)說：『數學是研究現實生活中數量關係和空間形式的數學』
克萊因(美國數學家)說：『數學是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度』

伽利略說：『給我空間、時間、及對數，我可以創造一個宇宙』『自然界的書是用數學的語言寫成的』
看了以上諸位數學前輩的物語，同學知道什麼是數學了嗎﹖其實，無論用怎樣簡短的話來定義數學，總是有若干不完美處。從小學開始學習數的四則運算，中學引進未知數x，開始解一些簡單的代數方程，加上學一些平面幾何證明的知識，直到高中現在的你。你說：數學是什麼呢﹖

數學思考的特色

牛頓說：『沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現』
猜想在解決一個數學問題是很重要的事，如果猜想本身是正確的，那是一種驚喜；如果猜錯了，也要有承受挫折的勇氣。最重要的是要敢猜。由於坊間的參考書充滿了各式的詳解，因此通常學生只要依樣畫符，把正解背起來，便能在大小考試勝任愉快，其實這是有礙數學學習的。猜測是思維的本能，去印證自己的猜測是一件有趣的事。因此，當同學看到一個題目之後，除非不到最後關頭，決不要馬上看解答，而是應先建立自己的解題方法，再試著加以完成。



哈爾莫斯說：『數學的創作絕不是單靠推論可以得到的，首先通常是一些模糊的猜測，揣摩著可能的推廣，接著下了不十分有把握的結論。然後整理想法，直到看出事實的端倪，往往還要費好大的勁兒，才能將一切付諸邏輯式的證明。這過程並不是一蹴可幾的，要經過許多失敗、挫折，一再地猜測、揣摹，在試探中白花掉幾個月的時間是常有的。』
通常，學生在課堂上、書籍中所學到的數學知識都是經過整理編寫的，因此十分的有系統，所使用的符號也十分精簡。但是，他們被發現時的的初期卻未必如此的簡單明瞭，也未必如此理所當然。一個舊觀念的突破或新觀念的發生可能是一位或一群數學家花費數年甚至一輩子努力裡所獲得的心血結晶。因此，當學生在數學學習過程中，正為一步推到另一步的思維所困頓或正為一個高明的解題技巧驚訝不已之餘，請不要著急，因為這可能你正以五分鐘在鑽研別人一生的心血呢 !



拉普拉斯說：『在數學中，我們發現真理的主要工具是歸納和類比』
維特根斯坦說：『數學是各式各樣的證明技巧』

在高一數學中數學歸納法這個單元中，從數列諸項中加以比較，然後找到規則是很重要的本事。數學家大部分的工作便是在為這渾沌的世界尋找或建立一個次序和規則。然後，依據邏輯來進行推理構成了數學思考的主體，成為井然有序十分有條理的思維結構。但是，單靠演繹推理還是無法成就數學這一世界的，因為其中尚欠缺了猜想、歸納、比較與分析。其實，與其說我們是在學數學的內容，不如說是在學數學思考的方法。


華羅庚說：『新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要』
去解決單一的數學問題或許是數學原來的目的之一，可貴的是在解題的過程當中，我們可能發現一些新的想法，然後他們具有更大的一般性去解決更多的問題。比如說：高二的學生在處理圓錐曲線的切線問題，可能就比不上高三自然組學生用微分來解決來的深刻。而國中生在學會使用未知數當變數列式來解決問題之後，很多小學的方法自然就捨棄不用了。數學方法是不斷在改進及改良的，隨著數學知識的加廣加深，同學對同樣一道題目，可能會有著數種不同的解法。而最好的方法便是它能適用的範圍更廣，亦即它的一般性愈強。



納皮爾說：『我總是盡我的精力和才能來擺脫那種繁重而單調的計算』
對數的創立，是十七世紀數學三大發明之一。納皮爾花了足足二十年的時間，計算編制成了三角函數對數表，對天文計算助益頗大，贏得了天文學家的歡聲。在此，計算能力也成為數學基本能力之一，許多學生常因粗心大意，在考場上失去了寶貴的分數，好的數學程度意味著也要有正確處理繁重計算的能力，而嚴謹的邏輯思維正是避免計算再度出錯的良方。



開普勒說：『以我一生最好的時光追尋那個目標……..書已經寫成了。現代人讀或後代讀都無關緊要，也許要等一百年才有一個讀者』
開普勒發現並證實了行星運動三大定律，成為天文數學上的里程碑。但是發現的初期並不見得馬上會被所有人接受，因此數學家通常是走在時代尖端的，這意味著他們除了為成果自豪外，應該也帶著幾許的落寞吧。幸好，之後不到一百年，牛頓便在開普勒的理論基礎上發現了萬有引力定律了。



柯萬佐夫說：『學數學，不是天天過節的。往往是一些最枯燥無謂的工作日，需要早睡早起，大量的計算，不停的思索；思索再思索。』
彷彿人生的起伏一般，解題也有順與不順的時候，這時，便要需要多鼓舞自己，再接再厲了。



數學之用處



拿破崙說：『一個國家只有數學蓬勃的發展，才能展現它國立的強大。數學的發 展和至善和國家繁榮昌盛密切相關』

這絕非拿破崙的片面之詞，試想砲彈要準確打中標的，雷達要鎖定敵人，怎能少了數學呢﹖不止軍事上如此，在經濟學、工程學及工商管理上，無一不受惠於數學的技術。
愛因斯坦說：『數學之所以比一切其他科學受到尊重，一個理由是因為他的命題 是絕對可靠和無可爭辯的，而其他的科學經常處於被新發現的事實推翻的危險。….數學之所以有高聲譽，另一個理由就是數學使得自然科學實現定理化，給予自然科學某種程度的可靠性。』
從愛因斯坦這番話，正好印證了數學是科學之母這句話。數學這座城堡通常不需拆掉再重新蓋起，只需在舊有的基礎上加以裝潢即可，因此可以確定這座城堡是隨著文明的發展而日益壯大的。如果每個巨人的肩上都站著一位巨人的話，那麼數學就更加屹立不搖了。

邱成桐說：『現代高能物理到了量子物理以後，有很多根本無法做實驗，在家用紙筆來算，這跟數學家想樣的差不了多遠，所以說數學在物理上有著不可思議的力量』

倫琴說：『第一是數學，第二是數學，第三是數學』
因發現x射線而成為第一位獲得諾貝爾物理獎的倫琴，有人問他科學家需要什麼樣的修養，這是他的回答。物理學跟數學可以說是一體兩面，物理偏重實驗的數據，數學可以從理論印證物理實驗的結果，這是很多物理學家讚嘆數學的原因。

華羅庚說：『宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。』

馮紐曼說：『數學方法滲透並支配著一切自然科學的理論分支。它愈來愈成為衡量科學成就的主要標誌了。』

皮婁(加拿大生物學家)說：『生態學本質上是一門數學』

開普勒說：『數學對觀察自然做出重要的貢獻，它解釋了規律結構中簡單的原始元素，而天體就是用這些原始元素建立起來的』

傅立葉說：『數學主要的目標是公眾的利益和自然現象的解釋』

羅巴切夫斯基說：『不管數學的任一分支是多麼抽象，總有一天會應用在這實際世界上』

萊布尼茲說：『用一，從無，可生萬物』
這是微積分發明人之一的萊布尼茲對二進位計數的讚美，而電腦正是由0與1所築成的世界，它正帶給人們生活上的便利和重大的改變。

綜合以上的說法，軍事、經濟、生物學、天文學、工程建築、工商管理、電腦、通訊樣樣少不了數學，特別在這資訊發達的時代，生活中到處可發現數學的蹤跡，數學應該是每位國民均要具備的基本素養吧。



學好數學的方法



可以發現所有在史上留名的數學家對數學都是充滿熱忱的，興趣加上努力可以提昇專業的成就，因此想要把數學學好，就必須讓自己對數學充滿了興趣才行。
亞里斯多德說：『思維自疑問和驚奇開始』
努瓦列斯說：『數學家本質上是個著迷者，不迷就沒有數學』

柯普寧(前蘇聯哲學家)說：『當數學家導出方程式和公式，如同看到雕像、美麗的風景，聽到優美的曲調等等一樣而得到充分的快樂』
羅素說：『在數學中最令我欣喜的，是那些能夠被證明的東西』

高斯說：『給我最大快樂的，不是已懂得知識，而是不斷的學習；不是已有的東西，而是不斷的獲取；不是已達到的高度，而是繼續不斷的攀登』
相信學生都有這樣的經驗，能夠將一題證明出來，是一件令人雀躍的事。學習本身是一件快樂的事，決不因為考試帶來的挫折，打壞了自己原先的興致和熱忱。要學好數學，最重要的事除了要先培養喜歡數學的態度，還要有一些方法。讓我們來看看在數學史上留名的人是如何學好數學的：



波利亞說：『從最簡單的做起』
許多同學有這樣的習慣，喜歡挑戰難題，結果遇到挫折後，便心生畏怯，對自己的學習興趣造成打擊。基本上，除非本身已經具備相當的數學基礎，否則還是希望同學們循序漸進，一步一步來。知識學數學決不能好高騖遠，必須基本的觀念先弄清楚，再試著去解決難題。基本上，初學者避免造成自己太過挫折是很重要的。

高斯說：『寧可少些，但要好些』『二分之一個證明等於0』
與其囫圇吞棗、似懂非懂的學數學，不如放慢腳步，務求每個觀念的清晰透徹。有的學生拚命做參考書，企圖增加經驗、以量取勝。想法固然不錯，但是往往有事倍功半的感覺，與其把重點放在拚命做題目，不如擺在觀念的釐清。此外，在做證明題時，是沒有僥倖的，每個好的證明需能禁得起人們不斷重複的驗證，
任何存在疑問的證明都不能算是數學上的證明。

希爾伯特說：『當我聽別人講解某些數學問題時，常覺得很難理解，甚至不可能理解。這時便想，是否可以將問題化簡些呢﹖往往，在終於弄清楚之後，實際上，它只是一個更簡單的問題。』
對於同樣一個題目，不同的人有不同的解題心路歷程，不要輕忽自己的想法，更不要輕言放棄，因為很可能它會優於原先的解法。數學思維的走向是要將一個問題的處理方式簡單化，而不是要造成很困難的假象，如何以簡馭繁去簡化一個問題數學學習上重要的訓練。一個問題在被解決之前總是難的，而從不會到會，從不懂到懂，對人來說正是一種成就感。



廣中平佑(日本得菲爾茲獎數學家)說：『在數學裡，分辨何是重要，何事不重要，知所選擇是很重要的』
亂挑參考書的題目亂做一番，並非最好的方法。在此之前，同學應試著去判斷哪些概念重要的﹖把他們一一挑出來。數學是由一串串重要的概念組成的，掌握了這些中心概念，腦海中自然有一個數學結構圖出來了。



華羅庚說：『下棋要找高手…..只有不怕在能者面前暴露自己的弱點，才能不斷進步』『自學，不怕起點低，就怕不到底』
有的學生學起數學來，愈學愈自卑，最後終於放棄了數學，這是很不幸的事。因為他不敢在別人面前暴露自己的弱點，逃避的結果，只是使自己更加低落而已。因此，必須學著虛心像數學厲害的人求教、挑戰，如此才有機會見識到高人的絕學，彌補自己的不足。只要有堅持到底的決心，肯低頭向人求教，絕對是可以自學自成學好數學的。

牛頓說：『如果我能夠看的更遠，那是因為我站在巨人的肩上』
『我的成功歸功於精細的思考，只有不斷地思考，才能到達發現的彼岸』
學數學不能故步自封，必須虛心接受別人好的想法，打破沙鍋問到底是喜歡思索、善於思索的表現，有問題就必須跟老師問個明白才行，老師對每個學生來說，可是牛頓口中的巨人喔。任何成就歸功於經常的努力，隔個兩三天才捧起數學課本粗枝大葉的看的人，是學不好數學的。數學的思維要嚴謹，要有邏輯性，更要有感覺才行，決不能久久讀一次含糊了事。
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牛頓說：『每一個目標，我都要它停留在我的眼前，從第一到曙光初現開始，一

直保留，慢慢展開，直到整個大地光明為止』

這是牛頓思考問題的態度，以及思考問題過程的描繪，決不中途退卻。相信許多學生在解題時，或許都曾經看過那道解題的曙光，但是最後還是淪落成一片黑暗，恆心與意志力亦是成功不可或缺的要素。



愛因斯坦說：『每當我的頭腦沒有問題思考時，我就喜歡將已經知道的定理重新驗證一番。這樣做並沒有什麼目的，只是讓自己有個機會充分享受一下專心思考的愉快』
複習對數學學習者而言，是一件重要的事，所謂溫故而知新，同樣的數學內容，每個人所感受的深刻程度卻是不一樣的。重新看一自己的思路歷程，將會得到新的啟發。特別，人是會遺忘的，只有經常盯著學過的看，才能保持數學的感覺。



高斯說：『要是我不變換計算方法，我的眼睛會瞎掉』
曾經有一個天文學的問題，如果僅用當時的方法，由許多卓越的數學家去共同解決，也要費時數月。但是高斯卻只花一個小時便解決了。這是因為高斯如果不滿意舊的方法，他就會試試別的方法，直到找到更好的方法為止。



華羅庚說：『數缺形時少直觀，形缺數時難入微』又說『要打好數學基礎有兩個必經過程：先學習、接受『由薄到厚』；再消化、提煉『由厚到薄』』
同學在學習數學時應該掌握到數與形並重的道理，互相滲透、互相補充，彼此緊密的連接著。在初學階段，可能覺得份量很繁重，可是經過自己一番整理精簡之後，做到"吾道一以貫之"的地步，此時神功已是又更上一層了。


蘇步青(大陸數學家)說：『學習數學要多做習題，邊做邊思索。先知其然，然後知其所以然』
在每本的數學教材後面，總是少不了習題，習題提供了無限思維的空間，決不要忽略了習題的重要性。


努力到什麼程度



拉碼努揚(印度的數學國寶)說：『天才?請你看看我的臂肘吧』
拉碼努揚被喻為印度的天才數學家，早年因為家貧，買不起紙張，因此在石板上計算數學，再用臂肘抹去清除字跡，因此磨出老繭，常常把白紙拿去資源回收的同學是否該警惕一下了呢﹖


卡拉吉奧多里(希臘函數論數學家)說：『學數學，絕不會有過份的努力』
有的同學徐了一點數學的皮毛，便自以為神功已成。要真正學好數學，決不能滿足現在已有的努力。



愛因斯坦說：『圓圈的裡面代表我現在學到的知識，圓圈的外面仍然有著無限的空白，而且隨著圓愈來愈大，圓周所接觸的空白也愈來愈大』。『在天才與勤奮之間，我毫不遲疑的選擇了勤奮，因為它是世間一切成就的催生者』。『我反覆思索好幾個月，好幾年；有九十九次都是錯的，而第一百次我對了』
學無止境，當我們學的越多的時候，會發現還有更多的知識沒有學到。我們所知道的是有限的，我們不知道的是無限的。即使是愛因斯坦亦不敢過分仰賴自己的的天賦。聰明的你，曾經最多嘗試一個題目幾次後才放棄呢﹖



牛頓說：『我並無過人的智慧，有的只是堅持不屑的思索精力而已。今天盡你最大的努力去做好，明天也許能做的更好』

韋達說(代數學之父)：『沒有不能解決的問題』
韋達是法國16世紀最有影響的數學家，在他的著作『分析方法入門』一書的結尾簡短的幾字，道出了數學家的豪情及信念。只有這種堅持及決心才有成功的可能。如果，真的盡自己最大努力來學習，即使考試成績暫時不如意，又有何悔﹖可歎一般的學生在自我的檢討中，總是在懊悔自己貪玩浪費光陰，鮮少有全力以復、無怨無悔的情懷。



陳省身說：『早晨醒來，想的第一件事就是數學。我的生活就是數學；終生不倦地追求就是數學，數十年如一日，從沒有懈怠過，現在依然如此。』又說『用功不是指每天在房裡看書，也不是光做習題，而是要經常想數學。一天至少有七、八個小時在思考數學。』

當然，這是一位偉大數學家的自我期許，並不是每位學生將來都要走數學這條路，也不必真的如此"拚命"。但是，起碼他提供一個努力的標準，要學好數學該花多少時間及心力呢﹖一代數學偉人況且如此要求自己，對於哪些數學低落的學生，往往只在考試前幾天才打開數學課本的，是不是該…..﹖

厄多斯說：『墳墓裡有的時間去休息』
厄多斯的朋友看到他這麼努力，想勸他休息一下，這是厄多斯的回答。
相信同學們都有這樣的經驗，愈是花時間去念數學愈是覺得時間不夠用，因為數學有一些觀念並非一下子便能立即領悟，必須"困於心，衡於慮，而後作"，只有持續不斷的思考，才有機會豁然開朗。



美國中小學課程標準：

『1. 要懂得數學的價值….
2. 要對自己的數學能力有信心…
3. 要有解決數學問題的能力…
4. 學會跟別人會談、寫、討論數學….

5. 學會數學的思考方式…. 』

怎樣才算學好數學﹖以上有五個標準，同學們可以自我檢查看看，已經達到幾項了呢﹖



如何教好數學



這個單元是用來自我期許用的。希望能從一些偉大數學家的想法中，不斷改進自我的教法，使學生都樂於學習數學。
保羅.朗之萬(法數學家)說：『在數學教學中，加入歷史是有百利而無一弊的』
牛頓說：『一個例子比十個定理有效』
康多塞說：『尤拉講課時喜歡給學生尋點開心，讓學生感到驚異』
黃武雄說(台大教授)：『導引定義，經常可以從反例著手』

魏爾斯特拉斯說：『如果不在某種程度上成為一個詩人，就永遠不會成為一個完美的數學老師』



尾聲：後不後悔學數學



歐幾里德說：『浮光掠影的東西終就會過去，但是天體圖案卻是巍然不動永世長存的』，或許正是柏拉圖國度中這些永恆的事物深深吸引了數學家，即使窮盡一生來投入亦是無悔。華羅庚說：『最大的希望是工作到生命的最後一刻』，對這些把一輩子完全投入數學的數學家們,即使當他們走到人生旅程的最後一點,他們是否仍堅持當初的願望呢﹖



阿貝爾說：『我要活下去! 我還有許多工作沒有做完…..』
挪威數學家阿貝爾17歲便開始解五次方程式，22歲成為證明了五次方程沒有公式解的第一人，在橢圓函數論有出色的表現，27歲與世長辭。他是多麼想活下去，想多解決一些數學上的難題。



尤拉說：『我要死了』
1783年9月18日上午尤拉仍跟朋友熱烈的討論著，下午因突然的腦溢血與世長辭，而此時他眼睛已經失明17年了。尤拉一生都在從事著計算，直到生命的最後一刻。同學們，你相信嗎﹖一個眼睛失明的人可以繼續研究數學17年，而尤拉許多重要的創作，便是在這段時間完成的。


阿基米德說：『走開，別動我的圖案』
在阿基米德所在的城池被羅馬士兵攻破時，阿基米德正埋首於地上的數學圖形，阿基米得無法容忍別人打斷他的思考而發出怒斥，結果阿基米得死於羅馬士兵的利劍下，從此希臘文明也跟著衰弱了。羅馬士兵奪走了他的生命，卻無法奪走阿基米得的意志。



柯西說：『人總是要死的。但是，他們的業績永存』
這是柯西臨終前和巴黎大主教談的最後一句話。高中生對柯西的認識，可能只是一個柯西不等式而已。事實上，在分析教程上，柯西用極限理論將微積分嚴密化，給了連續函數的定義，建立級數收斂的定理，一生發表的論文近800篇，是僅次於尤拉的多產數學家。



波利亞說：『我的數學興趣還沒完』

讀過波利亞所著的"怎樣解題"一書的學生，相信均獲益匪淺。波利亞活到98歲，他不斷向人訴說著這句話，人是真的可以活到老學到老的。