23的23則奇趣

23的23則奇趣

【摘要】每一個自然數至少都具有一個奇妙的性質。特別地，23這個數的趣事一籮筐。欲知詳情，請看本文的解說。

數的神奇奧秘早為古人所洞察。古希臘哲學家普羅克羅斯（Proclus, 410～485）說：「有數的地方就有美。」從三個人，三棵樹，三隻牛，三顆蘋果…之無窮多樣性（infinite diversity），精煉（抽象）出「本尊3」的理念。這三顆蘋果生存在這個世界，會腐朽；而3是永恆的「共相」，生存於柏拉圖的理念世界。反過來，「本尊3」又可以「分身」為無窮繁多的三顆蘋果，三隻小豬…，它們都分享著3的理念（圖一）。一收一放，收放自如，3充分體現「納無窮於須彌，握永恆於一瞬」的妙趣。

由1出發，不斷地數下去，我們就得到自然數系


這些是每個人一生中最早遇到的數，更是數學的發源地。德國數學家克羅內克（Kronecher, 1823～1891）說：「自然數是神造的，其他的都是人為的。」這表示自然數是最基本且最簡單，其餘皆由此「建構」出來。克羅內克是最早的建構主義者。

畢氏學派體悟到大自然的「事理」本質上就是整數的「數理」，所以主張「萬有皆整數與調和」，這是一種用數學來貫穿一切的世界觀。在西方，這個觀點代代都可以聽到迴聲，例如伽利略（Galieo, 1564～1643）說：「自然之書是用數學語言與圖形來書寫的」、萊布尼慈（Leibniz, 1646～1716）更進一步說：「世界上任何事情都按數學規律來發生。」對於大自然的強烈「規律感」並且深信它們可以用數學來掌握，這種感覺是科學發展的必要條件，即「有之不必然，無之必不然」的條件。

本文我們特選23這個數，要來介紹它們的性質及其所牽涉的種種趣事，順便展示數學的思考與解題的方法。

自然數系的一些基本性質

自然數系N具有下列三個基本性質：Ⅰ.含有起始元素，Ⅱ.無上界（unbounded above），Ⅲ.可窮竭性（exhaustibility）。進一步將它們加以精煉，或作推廣，我們分別就得到：良序性原理（the well-ordering principle）、阿基米得性質（Archimedeanproperty）與數學歸納法原理（principle of mathematicalinduction）。

（Ⅰ）N含有起始元素

1是自然數系的起始元素，或最小元素，這太顯然了。不止是N含有最小元素，我們還有下面稍微深刻而有用的結果：良序性原理：自然數系的任何非空子集合都含有一個最小元素。

注意到，整數系、有理數系與實數系就都沒有這個性質。

（Ⅱ）N無上界

雖然N含有最小元素1，但是並沒有最大自然數。我們可以採用兩個論證法來證明N的無上界性。

直接證法：因為N是非空集合，並且任給一個自然數n，恒可提到一個更大的自然數，例如2n或3n或n＋l等等，所以自然數系沒有上界。兩個小孩子比賽說誰家較有錢時，就常採用這個論證法。

反證法：假設x為最大自然數，因為x2仍然是自然數，所以x2≦x。另一方面，自然數的平方會變大，故x≦x2。於是x2=x，解方程式得到x＝0或1。因為0不是自然數，故x＝l，即1是最大自然數，這是一個矛盾。因此，不存在最大自然數。上述的證法又叫做歸謬法。

將性質Ⅱ換個方式來說，就是下面更有趣的結果：

阿基米得性質：任給兩個自然數ε、b，不論b多大，ε多小，必存在，使得nε＞b。

證明：假設阿基米得性質不成立，亦即存在兩個自然數ε與b，使得nε≦b, n≦b/ε。於是n≦b/ε，nN。從而N有上界，這就跟性質Ⅱ矛盾。

這個結果可以推展到實數系：任給兩個正的實數ε與b，必存在自然數n，使得nε＞b。要證明這個性質，可利用歸謬法，再配合實數系的完備性。

（Ⅲ）N的可窮竭性

自然數雖然有無窮多，但是由1出發，逐次加1，終究可以窮盡所有的自然數。稍作修飾與變形，就得到下面的重要結果：數學歸納法原理：設A為N的子集合，若A滿足下列兩個條件：

（i）【瀏覽原件】（起始點）

（ii）【瀏覽原件】（遞移機制），則A＝N。

應用此原理，我們就有數學歸納之證明方法。令P（n）為一個敘述，跟自然數n有關。我們要證明：對於所有自然數n＝1,2,3,…，敘述P（n）都成立。由於N含有無窮多個元素，若要一個一個地去驗證，以有涯的人生是驗證不完的。但是，由數學歸納法原理知，我們只需驗證兩件事情：（i）P（l）成立，（ii）由P（k）之成立可推導出下一個P（k＋l）也成立。這就證得P（n）對所有自然數【瀏覽原件】都成立了。

上述的證法叫做數學歸納法（mathematical induction）或完全歸納法（complete induction）。這是一種特定形式的演繹法，絕不是枚舉歸納法（由一些特例的觀察飛躍到一般規律）！雖然兩者有關，但是不同就是不同，所以不可混為一談。

有時候我們需要用到表面上強化而實質上是等價的第二形式的數學歸納法：如果（i）P（1）成立，並且（ii）由P（1）,P（2）,…,P（k）之成立可推導出P（k＋l）亦成立，那麼P（n）對所有n N皆成立。

令人驚奇的是，數學歸納法著意在追逐N的無窮尾巴，而良序性原理看重最小的起始元素，它們是對偶的兩端，居然在邏輯上等價，英雄所見相同。

定理1：下列三個敘述都是等價的：

（i）數學歸納法原理

（ii）第二形式的數學歸納法

（iii）良序性原理

證明：（iii）（i）：令S=｛n：P(n)不成立｝，我們要證明S=Ø（空集）。如果S≠Ø，由（iii）知，S必含有一個最小元素，令其為d。今因P（d）不成立，又P（l）成立（假設條件），故d≠1，於是d≧2，從而d－1≧1，所以d－1N。因為d－1＜d，且d為S之最小元素，故d－1 S，所以P（d－l）成立。由歸納法的假設知，P（d）成立，這是一個矛盾，因此，S=Ø。

（i）（iii）：對於nN，令Q（n）表示「P（j）對所有j＝l,2,…,n都成立」之敘述。我們要證明Q（n）對所有nN都成立。從而，特別地，P（n）對所有nN都成立。

首先注意到，Q（l）只不過是P（l）。由歸納法的假設知P（1）成立，故Q（l）也成立。

其次，假設Q（k）成立，即P（j）對所有j＝l,2,…,k都成立，由（i）知P（k＋l）成立。於是P（k）對所有j＝l,2,…,k＋l都成立，亦即Q（k＋l）成立。因此，由Q（k）之成立可推導出Q（k＋l）亦成立。因此，由（i）知Q（n）對所有nN都成立。

（ii）（iii）：設【瀏覽原件】且S≠Ø，欲證S含有最小元素。我們採用反證法，即證明：若S不含最小元素，則S=Ø。

假設S不含最小元素，我們要證明，n S，n N。令P（n）表示n S之敘述，那麼我們就是要證明：P（n）對所有n N都成立。

因為1是N的最小元素，故N的任何子集合若含1必以1為最小元素。今因S不含最小元素，故1 S，亦即P（1）成立。

假設P（l）,P（2）,…,P（k）成立，亦即1,2,…,k S,或等價地說，S的所有元素皆大於等於k＋l。如果 k＋1 S，則k＋l為S的最小元素。今因S不含最小元素，故 k＋1 S。換言之，P（k＋l）成立。由（ii）知，P（n）對所有n N都成立，故S=Ø，明所欲證。

自然數系的皮亞諾公理

我們已證明數學歸納法與良序原理的等價性，這只表示兩者都對或都錯。如果我們繼續追根究柢，自然就要問：它們任何一個為何成立？

義大利邏輯家皮亞諾（G.Peano, 1858～1932）回答說，不要再追問下去，這是自然數系的五條公理（axioms）之一。

為了追究微積分的邏輯基礎，數學家們從實數開始化約、回溯：

實數系→有理數系→整數系→自然數系到達最單純的自然數系，在1889年皮亞諾給出五條公理：

1.1是自然數。

2.任何自然數n都存在有唯一的後繼元素，記為n'。

3.1不為任何自然數的後繼元素。

4.兩個自然數的後繼元素若相等，則此兩自然數相等，亦即【瀏覽原件】。

5.數學歸納法原理。

由此出發，逐步建構出各種數系：

自然數系→整數系→有理數系→實數系並且證明了的一切性質，奠定微積分的邏輯基礎。

如果還要再追究下去，那麼就會來到集合論與邏輯學，最後抵達數學哲學。根據羅素（B.Russell, 1872～1970）的說法，沒有明確答案的研究是哲學，有明確答案的討論就變成數學與科學。驚奇是哲學之母，懷疑是哲學之父。

凡自然數皆具奇妙性質

數學的探索，大致是循著如下的過程：由問題出發，經過觀察、歸納，再飛躍到猜測，最後給出證明。這個過程展示了人類創造活動的廣闊天地。

讓我們一個一個地來觀察自然數：1是單子（monad），是萬數之源，是每個自然數的因數，是乘法的單位元素，「道生1，1生2，2生3，3生萬物」，當然有趣；2是偶數，是最小的奇質數，2＋2＝2×2；3是第二個三角形數，是最小的奇質數；4是第一個合成數；5是整數邊的最小畢氏三角形之斜邊長；6是第一個完美數（perfectnumber），6＝l＋2＋3；……等。在此我們不禁要猜測：是否每一個自然數至少都有一個奇妙的性質？

這個猜測可以證明嗎？讓我們試試看。假設S表示不具有任何奇妙性質的自然數所成的集合，我們要證明S=Ø。如果S≠Ø，由良序性原理知，S含有一個最小元素d。於是d是N中不具有任何奇妙性質之最小數，而這恰好就是d所具有的最奇妙的性質！這是一個矛盾。因此，S=Ø。果然可以證明！於是猜測上昇為定理。

定理2.每一個自然數至少都具有一個奇妙的性質。

這真是一個奇妙的定理。以下我們從數學史與科學史，進一步挖掘到23的23則趣事，也是蠻好玩的。

數論中的23

雖然每一個自然數都具有奇趣，但是23這個數特別多。

〔1〕23是第23個自然數。一個自然數具有點算（counting）、排序（ordering）與識別（labeling）三種功能。例如自然數3，可以用來表示這個房間內有3個人或賽跑得到第3名（或「老三」）。另外，運動員的背號542或身分證字號M100776626，既不是點算也不是排序，這是一種「識別功能」而已。點算與排序所得到的數分別叫做基數（cardinal number）與序數（ordinal number），這是集合論中的兩個重要概念。集合論是康托爾（G.Cantor, 1845～1918）因追究「實在無窮」（actualinfinity）而創立的數學樂園。當初集合論曾引起很大的爭議，希爾柏特（Hilbert）站在支持的一方，他說：「沒有人能把我們從康托爾所創造的樂園中驅趕出來。」（No one will expel us from the paradise that Cantor has created.）

〔2〕23是奇數。將自然數分成奇、偶兩類，這是一種特徵性質的抽取。雖然簡單，但是往往會起大作用！例如√2不是有理數的證明，就可利用「奇偶論證法」。

假設√2=a/b，並且a,b不全為偶數，則2b2=a2，所以a2為偶數，從而a為偶數。令a＝2c，則b2=2c2，所以b2為偶數，於是b為偶數。因此，a與b都是偶數，這是一個矛盾。

畢氏學派很重視「奇偶」的二元分合，不僅將它們看作是算術（數論）的基礎，更是宇宙的基本原理。柏拉圖甚至把算術定義為「奇與偶的理論」。

〔3〕23是第九個質數。

〔4〕【瀏覽原件】是一個質數。質數相當於原子，表示不可再分割（indivisible、uncuttable、「莫可破」、「非半」、或墨子的「端」）的意思，它們是組成（透過乘法）所有自然數的基本要素（算術根本定理）。質數有無窮多個（歐幾里得定理），所以夠豐富。質數的公式難求（令Pn表示第n個質數，欲將P表成n的公式），質數在自然數中的出現相當不規則，但是卻有一個深刻且漂亮的質數分布定理（Prime number Theorem）：

【瀏覽原件】
其中π（x）表示小於等於x的質數之個數。從古到今，人們為了追究神奇的質數，發展出許多美妙的數學。機率學家卡慈（M.Kac, 1914～1984）研究機率論獲致「質數玩起機運遊戲」（Primes play a game ofchance.）之結論，質數跟機運有關！

〔5〕23！是一個23位數。階乘數n!＝ｎ．(n－1)．(ｎ－2)…3．2．1連結了許多數學結果，從排列、組合、二項式定理，到Stirling公式：

【瀏覽原件】
此式意指

【瀏覽原件】

將n！看成的函數，再加以連續化，就得到Gamma函數：

【瀏覽原件】

進一步加以複數化，得到複變函數的Gamma函數：

【瀏覽原件】
其中【瀏覽原件】表示複數【瀏覽原件】的實部。這個函數跟複變函數論與解析數論結下不解之緣。

〔6〕23=23+23+(7×13)。只有23與239這兩個數可表成九個正整數的立方和。

239=43+43+33+33+33+33+13+13+13

=53+33+33+33+23+23+23+23+13

〔7〕23=32+32+22+12。著名的Lagrange四平方定理是說：任何自然數都可以表成四個平方和（允許02）。因此，〔7〕式只是Lagrange定理的一位特例，海面上冰山的「一點」。

採用乘法來談自然數的因數分解，可得到豐富的結果。同樣，若採用加法當作分合的工具，也導致分割理論（partition theory）與加性數論（additive number theory）之深刻而美麗的領域，〔6〕與〔7〕只不過是兩個特例而已。值得一提的是，Lagrange定理為整個加性數論的胚芽與發源地。

〔8〕23=23+33+2×3。這是方程式xy=xy+yx+x.y的一個解，而x＝l，y＝9是另一個解。

〔9〕πe＜23＜eπ，其中【瀏覽原件】，πe≒22.459，eπ≒23.141。在數學中，eiπ+1=0被譽為最美麗的公式，而πe＜23＜eπ也堪稱為一個漂亮的不等式。eπ為一個超越數，但πe為有理數或無理數，至今並不清楚。

費氏數列中的23

費氏（Fibonacci,約1175～1250）在1202年由於觀察一對兔子的繁殖，而得到費氏數列（Fibonacci Sequence）：

1,1,2,3,5,8,13,21,34…這個數列的構成規律是：由1,l出發，往後任何一項都是其前兩項之和。若記此數列為（an），我們有許多方法可以求得一般項（即第n項）公式為：

【瀏覽原件】此地【瀏覽原件】為黃金分割比值。

類似地，我們考慮由1,4出發的「費氏數列」（bn）：

1,4,5,9,14,23,37…第六項為23，我們欲求第n項bn的公式。

我們採用母函數（generating function,又叫生成函數）的方法。先補上第0項b0=0，再考慮數列b0，b1，b2，…的母函數：

g(x)=b0+b1x+b2x2+…
因為【瀏覽原件】，由比值試斂法（ratio test）知，當【瀏覽原件】時，上述無窮級數收斂。為了利用構成公式bn+2=bn+1+bn，n＝l,2,3,…，我們考慮g(x)－xg(x)－x2g(x)，經過計算與化簡得到

g(x)－xg(x)－x2g(x)=x+3x2
解得g（x）為

【瀏覽原件】化成部分分式

【瀏覽原件】
比較兩邊係數，得到b0=0與

【瀏覽原件】
此式是我們所見過的23所能變化的最深刻形式。

韓信點兵問題

在《孫子算經》中有一個問題如圖二。我們把它翻譯成白話：

有一堆東西，不知道有多少個。只知道：三個三個一數剩下兩個，五個五個一數剩下三個，七個七個一數剩下兩個。問這堆東西一共有幾個？

這就是鼎鼎有名的「韓信點兵」問題，又叫做「鬼谷算」、「隔牆算」、「秦王暗點兵」、「翦管術」等等。它跟天文曆算具有密切的關係，因此，歷來引起許多人的興趣並且加以研究。

為什麼叫做「韓信點兵」呢？根據流傳的故事：韓信功高震主，受到劉邦的猜忌，劉邦有意要整肅掉韓信，但又顧忌韓信手下有那麼多的兵。有一天趁喝酒之際，劉邦問韓信：「你的手下有多少兵？」韓信故意賣關子說：「我也不知道，但是三個三個一數剩下兩個，五個五個一數剩下三個，七個七個一數剩下兩個。」劉邦與張良都算不出來，所以劉邦暫時不敢動手。在正史上，我們知道後來韓信被呂雉（劉邦的太太）以「謀反」的罪名逮捕並且處斬，應驗「鳥盡弓藏，兔死狗烹」的名言。

韓信點兵問題的解答求算，被編成歌訣：

三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，

七子團圓正半月，除百零五便得知。

如果不經過解釋，這首詩跟燈謎「無邊落木蕭蕭下」，打一個字一樣困難。但是一經道破，就很簡單了。「三人同行七十稀」是說，用3去除所得的餘數（即2）乘以70，即2×70；同理，「五樹梅花廿一枝」是指3×21，「七子團圓正半月」是指2×15；「除百零五便得知」是指，把上面三個數相加起來，其和若大於105，便減去105的倍數，使其保持正數，最後得到的數就是最小的正整數解：2×70＋3×21＋2×15＝233233－2×105＝23

〔11〕23是韓信點兵問題的最小正整數解。

我們還可以看到另一個流傳的歌訣：

三歲孩兒七十稀，五留廿一事尤奇，

七度上元重相會，寒食清明便可知。

在此只需點明：「上元」是指15，「寒食清明」是指105。

事實上，韓信點兵問題有無窮多個解答：23,128,233,…,10523,…，其一般表式為23＋105n，n＝0,l,2,…。

數學的核心不在於答案的背記，而是在於探尋答案的思路過程。韓信點兵問題為什麼要這樣算？如何想出來的？這些才是我們真正要關心的問題。追究下去會牽涉到「分析與綜合」的方法論，我們只好留待另文解說。

習題1.

雞兔同籠，一共有35頭，腳有94支，問雞兔各有幾頭？（《孫子算經》卷下第31題）

機率論中的23

「三人同行必有我師」，這句話很有爭議。但是，「三人同行必有同性」，就明確而不容懷疑。在數學中，這叫做鴿洞原理（pigeonhole principle）或Dirichlet原理。

讓我們考慮如下的生日問題：n個人至少有兩個人同一天生日的機率為多少？

假設一年有365天，如果n＞365，則鐵定至少會有兩個人是同一天生日，這是鴿洞原理的結論。

對於1≦n≦365的情形，我們從反面切入，先計算n個人的生日皆相異的機率：

【瀏覽原件】

所以，至少有兩人具有相同生日的機率為

【瀏覽原件】

我們列表如表一。因此，一班若有40人，就十之八、九至少有兩人具有相同的生日。一班若有50人，則差不多可以確定會有兩人同一天生日。我們更注意到：當n≧23時，Pn＞1/2；當n＜23時，Pn＜1/2。

〔12〕n＝23，恰是Pn從小於1/2到大於1/2的分水嶺。

23的奇緣

〔13〕歐幾里得的23個定義歐幾里得（Euclid,約300 B.C.）的《幾何原本》，開宗明義由23個定義開始，然後是五條幾何公理與五條一般公理，接著就是定理與證明。歐氏立下了演繹數學的「定義、公理、定理與證明」之四部曲模式，這是人類文明最嚴謹的一套追求知識的方法。

〔l4〕歐幾里得的第23個定義，給出平行直線的概念。

平面上的兩直線，若向兩個方向無限地延伸都不相交，就叫做平行直線。配合平行公理（即歐氏第5條幾何公理：在平面上，過直線外一點可作唯一的一條直線跟原直線平行），歐氏發展出所謂的「歐氏幾何」（Euclidean geometry）。歷來人們嘗試要去證明平行公理，但是一直都沒有成功。經過兩千餘年的努力，到了1830年左右，才由波亞（Bolyai,1802～1860）、羅巴切夫斯基（Lobachevsky, 1793～1856）與高斯（Gauss, 1777～1855）三個人獨立地創立「非歐幾何」（non-Euclidean geometry），真正體悟到否定平行公理，天並沒有垮下來。從此，兩千多年來定於一尊且是永恒真理化身的歐氏幾何，退居為平民，變成眾多幾何之一而已。歐氏幾何的解放，導致人類的眼界、知識與思想的大解放。對於什麼是數學？什麼是真理？起了重大的反省。

〔15〕希爾柏特23個著名問題

德國偉大數學家希爾柏特（Hilbert, 1862～1943），在1900年法國巴黎舉行的第二屆國際數學會議上，提出二十世紀數學界應努力解決的23個問題，影響二十世紀數學的發展至鉅。

希爾柏特對於解題方法論尤有獨到的見解，我們試擇引幾段來欣賞：

「正如每一個人都在追求某些目標，數學的研究也需要以問題為目標。透過問題的求解，可以試驗研究者的如鋼鐵般的意志與氣質，展現他的新方法、新視野，並且得到更寬廣而自由的眼界。」

「如果我們無法成功地解決一個數學問題，其理由往往在於我們沒有找到更一般的觀點，使得眼前的問題成為一連串相關問題中的一環。

「沒有具體的問題在心中，就去追尋一般方法，這往往是徒勞的。」

「在求解數學問題時，我相信『特殊化』比『一般化』更重要。大多數不成功的解題，也許都在於更簡單且容易的問題還沒有解決或未徹底解決。因此，我們必須先找到這些容易的問題，然後以儘可能完美的方法與可資推廣的概念，加以解決。我認為這是克服數學難題最重要的妙方，數學家幾乎天天都在用這一招，甚至到達不自覺的境地。」

「做數學的要訣（或藝術）在於找到那個特例，它含有推展到一般情況的所有胚芽。」

「當我們獻身於一個數學問題時，最迷人的事情就是在內心深處響起了一個聲音：這裡有個問題，去尋求它的解答吧，只須純用思考就可以找到答案。只要一門科學仍然能夠提供豐富的問題，那麼它就是有源之泉。」

〔16〕希爾柏特的第23個問題是有關變分學理論的問題。

求極值的問題，自古以來就是數學發展的動力之一，更是應用數學的一大主題。從單變數函數開始，費瑪（Fermat, 1601～1665）似相等法（thepseudo-equality method）求極值，牛頓將它精煉成微分法，導致微積分的誕生。接著是多變數函數的微分法，最後才到達無窮維空間之泛函求極值，將微分法推廣（或類推），就產生變分法，順便透過Hamilton最小作用量原理用變分法將古典力學納入掌握。然而，變分等於0的點只是極值的必要條件，而非充分條件。因此，變分學的理論還是有待進一步探索。

〔17〕23個常數

我們分別從數學與物理學中選出12個與11個重要常數，一共是23個。

在數學中，雖然「眾數平等」，但是實踐的結果，有些數特別重要，除了本身漂亮之外，還涉及到許多美妙的的觀念與結果，並且在數學發展史上扮演著關鍵性角色。下面就是12個數學常數：

－1,0,1,i,γ,τ,√2,

Ø,e,π,δ,Ψ。

其中i為虛數單位，滿足i2=－1，【瀏覽原件】為Euler數；【瀏覽原件】為黃金數；【瀏覽原件】為黃金分割比值；【瀏覽原件】為自然指數；π≒3.1416為圓周率；δ≒4.6692為Feigenbaum數，涉及混沌與碎形；最後，Ψ=2π(1－τ)≒2.4弧度≒137.5°叫做黃金角，涉及植物的葉序、花瓣之生長模式。另外，幫忙微積分誕生的無窮小與無窮大，因為它們都不是普通的數，所以我們不選取。

根據S.L.Glashow的《從煉金術到夸克》這本物理學的通識教育書，他列出了下面11個物理的基本常數（fundamental constants）：

Avogadro數：NA=6.022×1023mol-1

Boltzmann常數：k=1.381×1023JK-1

Coulomb定律中的常數：kc=9×109Nm2C-2

光速（精確的）：c=299,792,458ms-1

Planck常數：h=6.626×10-34Js

Planckg常數（化約的）：

電子的電荷（大小）：e=1.602×10-19C

電子的質量：me=9.109×10-31kg =511keVc-2

質子的質量：mp=1.673×10-27kg=938.3MeVc-2

原子質量單位：amu=1.661×10-27kg=931.5MeVc-2

牛頓常數：GN=6.673×10-11m3kg-1s-1

〔18〕人類有23對的染色體。

生物學早從亞里斯多德（Aristotle, 384～322B.C.）開始就注重觀察、蒐集資料、分類、命名與定性研究，一直到十九世紀後，才引入科學的假說演繹法（Hypothetico-Deductive method），導致達爾文（Darwin, 1809～1882）在1859年出版石破天驚的《物種始原》（The origin of species），提出生物的演化論。接著，為了追究更細緻的、局部的演化機制，孟德爾（Mendel, 1822～1884）利用數學的定量與推理，配合假說演繹法，機率與統計，在1866年提出遺傳因子（即後來的基因，相當於原子或質數）的概念與三條遺傳定律（顯隱律、分離律與獨立分配律），創立遺傳學的理論。這可比美於牛頓與萊布尼慈由局部化的微分法，揭開一切運動與變化現象之謎一樣。後來人們又發現細胞內承載DNA與基因的染色體。今日的分子生物學，解讀DNA，都大量使用數學工具，因此我們可以說，數學幫忙促動生物學的革命。

23歲與23年

〔19〕23歲的笛卡兒（R.Descartes, 1596～1650），在1619年3月26日，向好朋友Beeckman報告他首度瞥見「一種全新的科學，一種美妙的發現」，這就是他後來創立的解析幾何。同年冬天，11月10日，他在溫暖的火爐邊睡覺，作了三個夢，改變了他的一生。

這些夢澄清了他的生活目標，指明未來要走的道路，導致他一生努力於開拓理性思維，提倡系統地懷疑，追求真理，並且講究方法論。重建知識殿堂。這些促動了近代科學與近代哲學的誕生。因而被稱為「近代哲學之父」。在他的所有著作中，要以《方法導論》（1637年）與《哲學原理》（1644年）這兩本書對後世的影響最為深遠，他的《解析幾何》（La Gémétrie）是前一書的附錄。

〔20〕23歲的牛頓剛完成劍橋大學的學業，由於英國發生大瘟疫，學校關門，在1665年的晚夏回鄉下老家避難。在家裡居住18個月（1665～1666），牛頓得到許多發現：二項式定理、微積分、萬有引力定律與光譜的分析。晚年他回憶說：「在老家的這段時日，是我一生中創造力的顛峰期，也是我對數學與哲學（即科學）最為用心思考的時光。」

〔21〕23歲的高斯在1800年證得數論的一個有趣的結果。考慮算術函數【瀏覽原件】，令g（n）表示n可表成兩個整數的平方和之方法數，例如，因為

5=12+22=22+12

=(－1)2+22=22+(－1)2

=12+(－2)2=(－2)2+12

=(－1)2+(－2)2

=(－2)2+(－1)2

所以g（5）＝8，容易驗知函數g的變化很不規則，但是考慮平均

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那麼就可以證明

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居然出現圓周率，令人驚奇。這個結果有點像機率論裡的大數法則：一個銅板丟一次，結果是說不準的，但是丟大量n次後（n→∞），就說得準了。

〔22〕羅塞塔石碑（Rosetta stone）上所刻的古埃及象形文字，費去23年才破譯成功，變成解讀古埃及文明的一把鑰匙。

在1798年4月，拿破崙帶著三萬八千名士兵乘328艘船遠征埃及（跟英國爭埃及的宗主權），隨行還有經過特選的167位學者，其中有21位數學家、3位天文學家、17位土木工程師、13位博物學家和礦山工程師、4位建築師、8位畫家、10位作家、22位帶著拉丁文、希臘文和阿拉伯文等字盤的印刷工，甚至還有一位鋼琴家、…，含納了當時法國學術界的精英。著名的數學家蒙日（G.Monge, 1746～1818）與傅立葉（J.Fourier, 1768～1830），也參與遠征，拿破崙準備就地全面研究埃及的現代與古代的一切文明，他號召說：「士兵們，從這些金字塔的頂上，四十個世紀注視著你們！」

次年（1799年），在尼羅河口三角洲的羅塞塔（Rosetta）地方，士兵構築碉堡，挖地基時挖到一塊黑色的刻有三種文字的石碑，取名"Rosetta stone"，分成上中下三欄，上欄是古埃及的象形文字，中欄是僧侶俗體草字，下欄是希臘文（圖四）。拿破崙立刻認識到這個石碑的重要性，於是製作了一壓模與拓印本，分送給歐洲各地的學者。

因為希臘文一直留傳下來，經軍中的學者譯出，得知這是托勒密（Ptolemy）五世的一道詔令（196B.C.），但是沒有人懂得象形文字。然而，大家都猜測上面兩欄的文字記載的是同一件事情。在此線索下，如何破解古埃及的象形文字，就變成是對學術界的一大挑戰。

英、法在埃及的戰爭，結果是法國被英國海軍大將納爾遜（Nelson）打敗，在1801年簽訂降約，法國放棄埃及。當法國學者企圖運走羅塞塔石碑時，被英國人發現，於是石碑被英國當作戰利品奪走。現在石碑存放於大英博物館埃及廳的入口處。

在1801年，傅立葉遇到一位11歲的小男生，名叫香波里昂（Champollion, 1790～1832, 圖五）。傅立葉出示從遠征埃及帶回的一些紙草本與羅塞塔碑文給他看，並且告知至今沒有人能讀懂。香波里昂堅定地說：「我一定要完成這件工作，至少當我年歲大一點時，就要讀懂它。」從此，他全心全力投入「埃及古物學」（Egyptology）的研究，一直工作到1822年才完全解讀成功。據說在偉大的時刻，香波里昂欣喜若狂地說：「我成功了！」接著由於身體太虛弱而昏了過去。從1799年到1822年，恰好是經過23年。

後來，在1858年出現的《萊茵紙草算經》（Rhind Papyrus,一共85題，約成書於1850B.C.）與1893年出現的《莫斯科紙草算經》（Moscow papyrus, 一共25題，約成書於1650B.C.），都是在香波里昂成就的基礎上，解讀且編譯出來，使我們對古埃及文明的數學有深刻的了解。

〔23〕德國數學家克萊因（Felix Klein, 1849～1925）在23歲時，提出著名的"Erlanger programm"（1872年）。

在當時，幾何學有歐氏幾何、非歐幾何、反演幾何、保角幾何、射影幾何、平直幾何、微分幾何、以及正在萌芽的拓樸學，甚至還有含有限多點與線之幾何。在這麼豐富與混亂的局面下，克萊因指出：一種幾何學就是研究在一個特定的變換群之下不變的性質。他利用群論（group theory）將幾何學統合起來，並且給與分類。

結語：上帝喜好23！

每個人都有經驗，記一件事物難，記一堆相關的事物容易。事實上，孤立的知識片段，不但沒有用，而且只是徒增記憶上的負擔。因此，我們要講究知識的連貫與掌握的要領。

這有各式各樣的方法，並且每個人所採用的可能都不一樣。最上策是自己想出來或重新發現；其次是利用基本原理，透過邏輯鏈條，將知識貫穿起來；再來是透過類推、比較、推廣、同質性、觀點、方法論、…將知識結合起來；也可用自己熟知的知識，編織成網，以吸納新知，捕捉未知，…等等。本文我們以23為黏著劑，將23件事物黏合在一起，這是筆者的第一次嘗試。

萊布尼慈在1674年發現π的級數展開公式

對這麼美妙的結果，他驚叫道：「上帝喜好奇數！」（God delights in odd numbers！）看了上述23的23則奇趣，我們情不自禁要補充說：「上帝不止喜好奇數，更愛好23這個數！」

習題2.

請列出你心目中最重要或最漂亮的23個數學公式，或23個定理，或23條物理定律。（按全局、某個範圍或某個科目）

蔡聰明任教於台灣大學數學系

參考資料

1.黃武雄，中西數學簡史，人間文化事業公司，1980。

2.Vercoutter, J., 古埃及探秘，尼羅河畔的金字塔世界，吳岳添譯，時報出版公司，1994。

3.Burton, D.M., The History of Mathematics, An Introduction, Allyn and Bacon, INC., 1985.

4.Eves, H., An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders College Publishing, 1990.

5.Davis, P.J.and Hersh, R., Descartes' Dream, The World According to Mathematics, Houghton Mifflin Company, Boston, 1986.

6.Burton, D.M., Elementary Number Theory, Third Edition, Wm. C. Brown Publishers, 1994.

7.Browder, F.E., Editor, Mathematical Developments Arising from Hilber pfoblems, American Mathematical Society, 1976.

8.Glashaw, S, L., From Alchemy to Quarks, Brooks/Cole Publishing Company, California, 1994.

9.Stewart, I., From Here to Infinity, Oxford University Press, 1996.