數學小語

數學小語

楊振寧博士『波蘭裔美國數學名家S.M.Ulam 的自傳「一個數學家的遭遇(Advanturesof a mathematician) 」....。
該書294頁上寫道:「楊振寧，諾貝爾物理學獎獲得者，講了一個有關現時數學家和物理家間不同思考方式的故事: 一天晚上，一幫人來到一個小鎮。他們有許多衣服要洗，於是滿街找洗衣房。突然他們見到一扇窗戶上有標記:『這裡是洗衣房』。一個人高聲問道: 『我們可以把衣服留在這兒讓你洗嗎?』窗內的老板回答說:『不，我們不洗衣服。』來人又問道:『你們窗戶上不是寫著是洗衣房嗎』。老板又回答說: 『我們是做洗衣房標記的，不洗衣服』。這很有點像數學家。數學家們只做普遍適合的標記， 而物理學家卻創造了大量的數學。」』

摘錄自數學傳播21卷2期/
楊振寧教授漫談: 數學和物理的關係


近代偉大幾何學家Elie Cartan說：「對比其它科學而言，數學的發展更依賴於一層復一層的抽象。為了避免犯錯，數學家必須抓住問題和對象的精義，並把它們篩選出來。
正確的推理無疑非常要緊，但更關鍵的是找到骨節眼上的問題。必須具有正確的直覺，才能夠選對最根本的問題。解決這些問題，對科學的整體發展，具有舉足輕重的作用。」





　

「我越來越確信幾何的必然性無
法被驗證, 至少現在無法被人類或為了人類而驗證, 我們或許能在未來領悟到那無法知曉的空間的本質。我們無法把幾何和純粹是先驗的算術歸為一類, 幾何和力學卻不可分割。」


　

英國數學家、哲學家
伯特蘭•羅素曾經說過：「當人們發現兩顆石頭以及兩頭羊的共同點時，人類開始步入了文明時代。」

參考資料
　

　

「興趣是成為數學家最重要的因素。」
「我認為自己是個解決了經濟學問題的數學家。」
「數學越來越多地被應用於經濟學。其實，在經濟學論文中應用數學會看上去很美。」
「人生是一種經歷，痛苦不僅是掙扎和鬥爭，也是一種體驗。成功與否在很多時候就在於有無堅強的信念，是否會有勇氣去付諸行動。」「純粹的數學是美麗的。」
--納許(John Nash)--


「Mathematics is the art of giving the same name to different things.」
「把不同的事情看成同一件， 這門藝術叫數學。」
「Poetry is the art of giving different names to the same thing.」
「把同一件事情說得不一樣，這門藝術叫文學。」
--龐嘉萊(Henri Poincaré)--
　

「對職業的純數學家們來說，數學應該是一組精要中肯的假設，和另一組出人意表的結論，經由風格優雅的證明所兜成的邏輯式吻合。」
哈模斯(Paul Richard Halmos)
　


『數學之所以比一切其他科學受到尊重，一個理由是因為數學的命題是絕對可靠和無可爭辯的，而其他的科學卻經常陷於被新發現的事實所推翻的危機之中。…數學之所以有高聲譽，另一個理由就是數學將自然科學實現定理化，付予自然科學某種程度的可靠性。』 ----愛因斯坦(Albert Einstein) -----

「凡存在皆合理。」

「音樂是一種隱藏的算術練習，透過潛意識的心靈和數字交流。」

-- 萊布尼茲(Leibniz)--


丘成桐
「我對數學的興趣，源於人類智慧足以參悟自然的欣喜。」
--丘成桐--

「理論的重要性必與其能解決問題的重要性成正比。一個數學難題的重要性在於由它引出的理論是否豐富。」
--丘成桐--

　

「任何人對我的解題方法感興趣，都可以在那裡找到，讓他們去讀吧」。

「我把所有的計算方法都發表出來了。這就是我能提供給公眾的東西。」
--佩雷爾曼--
　


如果你解不出某道題，那肯定是有一個更容易的問題你尚未解決 --- 找到它！

在寒冷的冬夜裡，當貓準備睡覺時，牠收捲起小腳，儘可能讓身體捲成球團一般。貓已經證明了這個定理：在給定一體積下，所有立體中，球面具有最小的表面容積。」

--G.波里亞(George Polya)--

幾何無王者之道
There is no royal road to geometry.

--歐幾里得--(Euclid)
　


如果用小圓代表你們學到的知識，用大圓代表我學到的知識，那麼大圓的面積是多一點，但兩圓之外的空白都是我們的無知面。圓越大其圓周接觸的無知面就越多。
--Zeno of Elea (芝諾)--
　

歐幾里得如此深愛的反證法是數學家最精妙的武器之ㄧ。他是比任何弈法更為精妙的棄子取勝法︰棋手可能犧牲一只卒子甚至更大的棋子以取勝，而數學家犧牲整個棋局。

數學確屬美妙的傑作，宛如畫家或詩人的創作一樣，是思想的綜合；如同顏色或辭彙的綜合一樣，應當具有內在的和諧一致。對於數學概念來說，美是她的第一個試金石；世界上不存在畸形醜陋的數學。
---哈代Godfrey Harold Hardy ---


邏輯用於證明，直覺用於發明，沒有直覺，就像按語法寫詩，語法都對，卻沒有思想。

沒有已經解決或尚未解決的問題，只有或多或少解決了的問題。

- 龐嘉萊(Henri Poincaré)-
　

　

「不要擔心你在數學上遇到的困難；我敢保證我遇到的困難比你還大得多。 」
「Do not worry about your difficulties in Mathematics. I can assure you mine are still greater. 」
-----愛因斯坦(Albert Einstein) ---

「提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅是一個數學上或實驗上的技能而已。而提出新的問題、新的可能性、從新的角度去看舊的問題，卻需有創造性的想像力，而且標誌著科學的真正進步。」
--愛因斯坦--(Albert Einstein)
　


正如人類的每項事業都追求著確定的目標一樣，數學研究也需要自己的問題。正是透過這些問題的解決，研究者鍛鍊他的堅毅意志和力量，發現新方法和觀點，達到更寬廣的自由世界。

沒有任何問題可以像無窮那樣深深的觸動人的情感，很少有別的觀念能像無窮那樣激勵理智產生富有成果的思想，然而也沒有任何其他的概念能像無窮那樣需要加以闡明。

「我們必須知道，我們將會知道。」

只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題缺乏則預示著獨立發展的終止或衰亡。

--希爾伯特(David Hilbert)--

「這就像是在問：為什麼貝多芬第九號交響樂曲很美。如果你看不出原因，就沒有人能告訴你。我知道數字很美。如果數字不美，就沒有美的東西。」 ---艾狄胥---


陶哲軒「很多奧林匹亞數學競賽(IMO)獎牌得主後來沒有繼續數學研究的原因之一是，數學研究和IMO所需的環境不一樣，IMO就像是在可以預知的條件下進行短跑比賽，而數學研究則是在現實生活的不可預知條件下進行的一場馬拉松，需要更多的耐心，在攻克大難題之前要有首先研究小問題的意願。」

---陶哲軒---

印度軟體教父柯里(F.CKohli)：「印度窮，沒有資本做軟體，但我們有最優秀的數學頭腦，絕對可以寫出最好的軟體」。
天下雜誌2001.4月刊


「我不知道世界會怎樣看我，不過我覺得自己就像是沙灘上玩耍的小男孩，偶然發現一塊光滑的石子或美麗的貝殼;而在我面前的大海，卻蘊藏著無數未經發掘的真相。」

--牛頓(Newton) --

一個人就好像一個分數，他的實際才能好比分子，而他對自己的估價好比分母。分母越大，則分數的值就越小。

---托爾斯泰--- (俄羅斯大文豪)





　



和絕大多數數學家一樣，我不是哲學家。我們做數學，因為我們愛做數學，我們幾乎不考慮為什麼。很多哲學家會問這樣的問題：「數學是自在的並由數學家發現的，還是數學原本不存在而是由數學家發明的？」我所知道的每一個數學家都相信數學是自在的，我們只是發現者，但哲學家們可能窮盡一生追問我們是發現了還是發明了數學。

--懷爾斯--

數學家是在漆黑房間中找尋不知在何處的黑貓的盲者。
( Charles R Darwin達爾文)

數學是人類唯一永無止境的活動。我們可以想見， 人類最後會完全理解物理學和生物學。但是，人類永遠沒有辦法完全理解數學，因為這門科目無窮無盡。數字本身就是無窮無盡。
--艾狄胥--
　

對數學問題無法抵擋的誘惑與追求，能讓人全神貫注，在無止盡的挑戰中得到心靈寧靜，這是沒有衝突的戰鬥，是擺脫纏身雜物的避難所，在今日令人應接不暇的花花世界，這就像不變的高山美景可供欣賞。
--克萊恩-

給我最大快樂的，不是已懂的知識，而是不斷的學習。不是已有的東西，而是不斷的獲取。不是已達到的高度，而是繼續不斷的攀登。--高斯(Guass)--
　

數學中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏得極深。
--高斯(Guass)--
　

正確敘述的反面是錯誤敘述，深奧真理的反面卻可能是另一個深奧真理。--包爾(Niels Bohr)-
　

把手中的石頭丟出去就能改變宇宙重心的中心點，這是一個可以用數學證明的事實。
--卡來爾(Thomas Carlyle)--


數學也可以給我們一些簡單的方法，來保護我們不被無知所愚。就如物理學家費曼(Richard Feynman)有一回說過：「科學是學習如何不為自己所愚的漫長歷史。」有數學作為我們理念的後盾，能使我們自愚的程度減少，並降低激烈後果的發生。
--柯爾 (K.C.Cole)--
　

「一個高超的問題解答者必須具備兩種不協調的素養；永不安分的想像和極具耐心的執拗。」

--Howard W. Eves--

　

「說到數學，如果人類早知道現實世界中沒有真正的直線、圓或絕對的數量，數學也不會存在了。」--尼采，《被人性所困的人》Friedrich Nietzsche,Human,All Too Human --
　

數學的本質在於它的自由。 --康托爾--
　

在數學的領域中，提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要。 --康托爾--
　

數學是無窮的科學。--赫爾曼外爾--
　

問題是數學的核心。--哈默斯--
　

由於無窮小和無窮大的出現，一向合乎嚴謹道德觀的數學，失去上帝的恩寵......數學絕對正確與無可反駁的聖潔地位從此一去不返；數學進入爭論時期，大多數人計算微分或積分不是因為他們了解自己在做什麼，而是基於純粹的信心，因為到目前為止答案總是對的。
---- 弗來德里奇‧恩格斯(Friedrich Engels)--