第三章 機率與統計

第三章 機率與統計
３-１　樣本空間與事件
３-２　機率的性質

機率：機率 。
機率的性質：
P(A)  P(A)  1。
P(A  B)  P(A)  P(B) – P(A  B)。
　P(A  B  C)
　　 P(A)  P(B)  P(C) – [P(A  B)  P(A  C)  P(B  C)]  P(A  B  C)。

甲、乙二人玩剪刀、石頭、布的猜拳遊戲，試求：
其樣本空間U及n(U)　不分勝負的事件。
解：令(a, b)表a是甲出的拳，b是乙出的拳，則
　U  {(剪刀,剪刀) , (剪刀,石頭) , (剪刀,布) , (石頭,剪刀) , (石頭,石頭) ,
　　　 (石頭,布) , (布,剪刀) , (布,石頭) , (布,布)}，
　n(U)  9。
不分勝負的事件為{(剪刀,剪刀) , (石頭,石頭) , (布,布)}。
甲、乙兩人各擲一均勻骰子，約定如下：乙得6點時乙就贏；兩人同點時（非6點），甲贏；其餘情形，則以點數多者為贏。則甲贏的機率為______。 【87自】
解：令樣本空間U  {(a, b) | a是甲擲出的點數，b是乙擲出的點數}，
則n(U)  6  6  36，其中，甲贏的情形有：
(6, 1) , (6, 2) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5) , (5, 1) , (5, 2) , (5, 3) , (5, 4) , (5, 5) ,
(4, 1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) , (3, 1) , (3, 2) , (3, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (1, 1) ,
共有5  5  4  3  2  1  20種甲贏的機率為 。

一副撲克牌52張，拿走J, Q, K花色大牌12張，剩下40張（1點到10點）四種花樣各10張，設機會均等，今從40張中任取5張，求下列機率：
同點數兩張，另外同點數3張，其機率為 。
5張點數和為8的機率為 。
解：從40張中取出5張的方法共有 種，而從40張中取出兩張同點數的方法
　有10  種，再取出另外3張同點數的方法有9  ，由乘法原理得共有
　10   9   2160種，故所求的機率為 。
5張點數和為8的有下列情形：
　(1, 1, 1, 1, 4)有  4種；(1, 1, 1, 2, 3)有  64種；
　(1, 1, 2, 2, 2)有  24種；共有4  64  24  92種，故所求的機率為 。
將5個數字1, 2, 3, 4, 5全取排成一列作成一個五位數，則此五位數
能被2整除的機率是______ 能被3整除的機率是______
能被4整除的機率是______ 能被15整除的機率是______
大於45000的機率是______。
解：能被2整除個位數字是偶數，故能被2整除的有2  4!個，
　所以 為所求。
能被3整除數字和是3的倍數，
　因1  2  3  4  5  15是3的倍數，故所求之機率為  1。
能被4整除的有：□□□12，□□□24，□□□32，□□□52，
　故共有4  3!個，所以 為所求。
能被15整除的有：□□□□5：4!個，所以 為所求。
大於45000的有：5□□□□：4!  24個，45□□□：3!  6個，
　故所求之機率為 。

有5個指定席及知道自己位置番號的5個人，今這5個人任意地坐此5個指定席，則：5個人都坐在自己的位置的機率為______。
　　　　5個人中恰有3人坐在自己位置的機率為______。
　　　　5個人中恰有2人坐在自己位置的機率為______。
　　　　5個人中恰有1人坐在自己位置的機率為______。
　　　　5個人都不坐在自己位置的機率為______。
解：5個人分別坐在5個坐位的方法有5!，
5個人分別坐在自己位置有1種方法，故所求的機率為 。
5個人中恰有3人坐在自己位置的方法有 種，故所求的機率為 。
5個人中恰有2人坐在自己位置的方法有
　  (3!   2!   1!   0!)  20種，故所求機率為 。
5個人中恰有1人坐在自己位置的方法有
　  (4!   3!   2!   1!   0!)  45種，
　故所求機率為 。
5個人都不坐在自己位置的方法有
　5!   4!   3!   2!   1!   0!  44種，
　故所求機率為 。

設A, B為二事件，且P(A)  0.5，P(B)  0.8，P(A  B)  0.4，試求
P(A  B)　P(A  )　p( )。
解：P(A  B)  P(A)  P(B) – P(A  B)  0.5  0.8 – 0.4  0.9。
P(A  )  P(A) – P(A  B)  0.5 – 0.4  0.1。
p( )  P( )  1 – P(A  B)  1 – 0.9  0.1。

設A, B為互斥事件，且知P(A)  0.2，P(B)  0.3，則 ？
A, B為互斥事件，P(  B)  0.3，P( )  0.5，則P(A) ？ P(B) ？
解：因A, B是互斥事件，所以P(A  B)  0。
　  1 – P(A  B)  1，
　  1 – P(A  B)  1 – P(A) – P(B)  P(A  B)
　　　　　　　　　　　　　　　　  1 – 0.2 – 0.3  0  0.5，
　故  1.5。
因A, B是互斥事件，所以A  B  ，所以P(  B)  P(B)，故P(B)  0.3，
　  1 – P(A  B)  1 – P(A) – P(B)  P(A  B)
　　　　　　　　　　 1 – P(A) – 0.3  0  0.7 – P(A)，
　故P(A)  0.7 – 0.5  0.2。





某一工廠生產燈泡，12個裝成一盒。工廠品質檢驗的方法是從每盒中任取4個來檢查，如有兩個或兩個以上的燈泡是壞的，則整盒淘汰。若某一盒有5個壞燈泡，則這一盒會被淘汰的機率是　(A) 　(B) 　(C) 　(D) 　(E) 。
【82社】
解：這一盒不被淘汰取出4個都是好燈泡　取出的是3好1壞的燈泡，
因此不被淘汰的燈泡有  210種，
故這一盒會被淘汰的機率為1  。

擲一均勻骰子三次，設三次中至少出現一次6點的事件為A，三次中至少出現一次5點的事件為B，則A, B至少有一事件發生的機率為______。
解：n(A)  n(B)  63 – 53  91，
A  B中(5, 6,□)有4  3!  24個，(5, 5, 6) , (6, 6, 5)有2   6個，
所以n(A  B)  24  6  30。
故所求機率為P(A  B)  P(A)  P(B) – P(A  B)  。



擲一骰子，若點數出現的機率與點數成比例，求出現的點數是偶數的機率。
解：因點數出現的機率與點數成比例，故假設出現1點的機率為p，
則出現2點、3點、4點、5點、6點的機率依次為2p, 3p, 4p, 5p, 6p，
但p  2p  3p  4p  5p  6p  1，所以p  ，
而出現偶數2, 4, 6的事件為互斥事件，
故出現偶數的機率為 。





 精 選 類 題 
投擲一顆均勻的六面骰子（即1, 2, 3, 4, 5, 6點出現的機會相等）五次，則恰出現一次1點，二次偶數點的機率為______。 【85夜社】 答：
提示：(1,偶,偶,奇,奇)有1  3  3  2  2   23  33  5 所求： 。
設P1表示丟2個公正硬幣時，恰好出現1個正面的機率，P2表示擲2個均勻骰子，恰好出現1個偶數點的機率，P3表示丟4個公正硬幣時，恰好出現2個正面的機率。試問下列選項何者為真？
(A) P1  P2  P3　(B) P1  P2  P3　(C) P1  P3  P2　
(D) P1  P3  P2　(E) P3  P2  P1。 【89推甄】 答：(B)
提示：P1  , P2  , P3  。
同時擲三粒骰子，點數和為15的機率為______。 答：
一次擲兩個公正骰子，則出現最大點數為4之機率為______。 答：
同時擲出三粒均勻骰子一次，設A表出現點數和為12點的事件，B表至少有一粒4點之事件，C表恰有一粒為1點之事件，則：
P(A) ？　P(B) ？　P(C) ？ 答： 　 　
擲三個公正的骰子一次，試求：
三個點數均相異的機率　三個點數的積是5的倍數的機率　
三個點數成等差的機率。 答： 　 　
從一副52張的撲克牌中抽出兩張，已知每張被抽出之機會均等，
求兩張字碼不同的機率？
求兩張字碼不同但花色相同的機率？ 答： 　
從一副撲克牌52張中任取5張，
恰成富而毫斯(Full house)(即同點數的二張，另外同點數的三張)之機率為______
恰成兩對(Two pairs,如AA33K)之機率為______。 答： 　
提示： 　 。
袋中有七個相同的球，分別標示1號、2號、……、7號。若自袋中隨機取出四個球（取出後不再放回），則取出之球上的標號和為奇數的機率為______。
【86社】 答：
某班有50位同學，其中男生有30位，女生20位。某次導師要抽5位同學留下打掃環境，依性別按人數比例作分層抽樣，則班上的男同學張志明被抽中的機率是______。 【89社】 答：
提示：因為男生：女生 3 : 2，故抽出的5位同學是3個男生，2個女生，而張志明被抽中的情形共有 種，故所求之機率為 。
一盒中有10個球，球上印有號碼1到10；今由盒中取4球，則4球之號碼中第二大數目是7的機率為______。 【84社】 答：
提示： 。
已知編號1, 2,……, 10的十盞路燈中，有三盞是故障的，則編號4與編號5都是故障的機率為______。 【85社】 答：
提示： 。
從記有1至9之號碼之9張卡片當中任意取出2張，試求：
二個數目差為偶數的機率為______。
二個數目之積為偶數的機率為______。 答： 　
自1, 2, 3, 4,……, 18, 19等19個數中，任意取相異三點，則
此三數的和為3的倍數的機率為______。
此三數能構成“等差數列”的機率為______。
此三數能構成“等比數列”的機率為______。 答： 　 　
六封寫好的信，任意放入六個寫好收信人及地址的信封內，且一封信僅放入一信封內，則恰有二封信放對信封之機率為______。 答：
四對夫婦共舞，以抽籤方式決定舞伴，結果每一夫皆不以其妻為舞伴的機率為______。 答：
甲、乙、丙、丁、戊、己等六人交換禮物，每人各提供一件禮物集中放在一起，然後再抽籤決定每人應得的禮物。若每人提供之禮物均不相同，求恰有一人抽到自己提供之禮物的機率。 答：
A, B, C, D, E, F六人的名片各一張混在一起，再隨意發給此6人，每人一張，則：
恰有2人得到自己名片之機率為______。
每人皆不得到自己名片之機率為______。 答： 　
設事件A發生的機率為 ，事件B發生的機率為 。若以p表事件A或事件B發生的機率，則p值的範圍為何？
(A) p  　(B)  p  　(C)  p  　(D)  p  　(E) p  。
【87推甄】 答：(D)
提示：p  P(A  B)  P(A)  P(B) – P(A  B)   P(A  B)，
且0  P(A  B)  （因P(A  B)  P(A)且P(A  B)  P(B)）   p  。
設A, B為二事件，且P(A  B)  ，P(A)  ，P(A  B)  ，則：
P(B) ______　P(A – B) ______。 答： 　
提示：P(B)  P(A  B)  P(A  B) – P(A)  。
P(A – B)  P(A) – P(A  B)  。
設A, B為互斥事件，若P(A)  0.2，P(B)  0.4，則
P( ) ______，P(A  ) ______。 答：0.8；0.2
投擲一骰子，若點數出現的機率和該點數成正比，又設A  {x | x是偶數}，
B  {x | x是質數，C  {x | x是奇數}，則：
P(A  B) ______ 出現是偶數或質數之機率為______。 答： 
提示：P(A)  , P(B)  ,
　所以P(A  B)  P(A)  P(B) – P(A  B)  。
一袋中，有紅球2個，白球4個，青球5個。今從袋中任意取出3球，則
取出之3個球中，至少有2個是青球的機率是______。
取出之3個球是同色球的機率是______。 答： 　
設A, B為二事件，若P(A  B)  0.8，P(A  B)  0.2，P(A  )  0.4，試求P(A)與P(B)。 答：0.6；0.4
投擲一骰子，假設點數出現的機率與該點數成比例。若P(n)表示出現n點的機率，A表出現奇數點的事件，B表出現質數點的事件，則
P(3) ______　P(A  B) ______　P(A – B) ______。
答： 　 　
擲一均勻骰子三次，設三次中至少出現一次3點的事件為A，三次中至少出現一次5點的事件為B，試求：
P(A  B) ______ P(A  B) ______。 答： 
丟一粒均勻骰子3次，設出現之點數依次為x, y, z，
求滿足x  y  z  6的機率。 求滿足(x – y)(y – z)  0的機率。
求滿足x  y  z的機率。 答： 　 　
袋中有三個白球（編號1~3），五個紅球（編號1~5），六個黑球（編號1~6），今由袋中取出兩球，若機會均等，求下列各情形的機率：
同色______　同號______　不同色不同號______。
答： 　 　

３-３　期望值

　如果做一實驗有k種可能結果，各種結果的報酬分別為m1 , m2 , … , mk，而得到這些報酬的機率分別為P1 , P2 , … , Pk（其中P1  P2  …  Pk  1），則此實驗的期望值為
　　m  m1P1  m2P2  …  mkPk。

擲一均勻硬幣三次，若每出現一個正面得5元，一個反面賠2元，則所得總額之期望值為______元。 【85推甄】
解：擲硬幣3次：

其期望值為  4.5 (元)。



袋子裡有3個球，2個球上標1元，1個球上標5元。從袋中任取2個球，即可得到兩個球所標錢數的總和，則此玩法所得錢數的期望值是____元。 【88推甄】
解：因　
故其期望值為 (元)。

某市為了籌措經費而發行彩券。該市決定每張彩券的售價為10元；且每發行一百萬張彩券，即附有臺百萬元獎1張，拾萬元獎9張，臺萬元獎90張，壹仟元獎900張。假設某次彩券共發行參百萬張。試問當你購買一張彩券時，你預期會損失______元。 【88社】
解：
購買一張彩券的期望值為
 3.7 (元)
因為一張彩券的售價為10元，故會損失10 – 3.7  6.3 (元)。



設一袋中裝有1個1號球，2個2號球，…，n個n號球，…，25個25號球，
1  n  25。現自袋中任取一球，設每一個球被取到的機會都相等，而取得n號球可得(100 – n)元。則取到19號球的機率為_____，而任取一球的期望值為_____元。 【80社】
解：袋中共有1  2  3  4  …  25  (25  26)  325個球，
　今從袋中取出一球，因19號球有19個，故取到19號球的機率為 。
任取一球的期望值為
　99   98   97   …  75 
　 
　  83 (元)。

根據統計，台灣地區的青年從18歲活到19歲的機率為0.996，今一位18歲的青年向某保險公司投保為期一年的壽險，保險額為1萬元，保險費是100元，求保險公司獲利的期望值。
解：若此人活到19歲，則保險公司賺了100元，其機率為0.996；
若死了，則保險公司要虧9900元，其機率為0.004；
故公司獲利的期望值為100  0.996 – 9900  0.004  60 (元)。






數人賭博，其中一人做莊，不作莊的先交給莊家3元，得到擲1個公正銅板1次的權利，規定：擲得正面時，莊家賠5元；擲得反面時，莊家不賠。
不作莊的人的期望值是______，故此種玩法______。（填公平、不公平）
若要玩法公平，當得反面時，莊家應賠______元。
解：E  5   0   2.5  3　故不公平。
設得反面時，賠x元，則5   x   3，
　所以x  1，即得反面時，莊家應賠1元。







 精 選 類 題 
同時擲2粒均勻的骰子，試求其點數和的期望值。 答：7
袋中有7個球，其中3個是紅球。今自袋中任取4球，則取得“紅球個數”的期望值為______。 答：
提示： 。
將1到5的各數字分別記在5張卡片上，在A, B兩箱各放入一組5張卡片，試求從A, B箱各取一張卡片時，二數和的期望值。 答：6
提示：  6。
擲3個硬幣，出現3正面可得12元，2正面可得8元，一正面可得4元，為了公平起見，出現三反面時應賠多少元？ 答：48元
一次投擲三個均勻銅板，若出現三個正面，可得8元，二個正面，可得3元，一正面可得1元，為使此遊戲公平，當不出現正面，應付______元。 答：20
假設一個高二學生再活一年的機率為0.9999。某高二學生一學年繳平安保險費60元，若在此學年內不幸意外死亡，由保險公司付給家長20萬元，則此保險公司的期望利潤為______元。 答：40
依照已往經驗，在台灣的25歲年青人，活到26歲的機率為0.992，若某一保險公司出售一年10000元的壽險給25歲年青人，只需繳保險費10元，試求該公司可獲得期望利潤若干？ 答：70元
袋中有1號籤1支，2號籤2支，3號籤3支，…，n號籤n支，今任抽一支，若抽得r號籤可得r元，問由袋中任抽一支之期望值為多少元？ 答： 元
提示：袋中共有1  2  3  …  n  支籤，
故其期望值為1   2   …  n   …  (元)。
袋中有n號球1個，(n – 1)號球2個，(n – 2)號球3個，…，2號球(n – 1)個，1號球n個，在機會均等的情況下由袋中任取一球，若取得k號球可得k元，求其期望值。 答： 元
提示： 。
設袋中有1號球70個，2號球69個，…，70號球1個。今自袋中任取一球，若取得r號球，可得(71 – r)元，則得錢之期望值為______元。 答：47

３-４　統計抽樣
３-５　次數分配表

抽樣調查：如何選取一種好的取樣方法是統計上很重要的工作，常用的抽樣方法有
　　　　簡單隨機抽樣法、系統抽樣法、部落抽樣法、分層抽樣法等等。

試解釋下列名詞：母體（母群體）　樣本　抽樣。
解：母體：研究的所有對象所成的集合稱為母體。
樣本：從母體中抽出的部分分子所成的集合，就是樣本。
抽樣：從母體中抽出部分分子做調查，這種方式就稱為抽樣。


某班50位同學依照座號列出身高如下： 單位：公分




利用隨機號碼表的第9，10兩行，由第一列開始找出五位
同學的身高，並求其平均值為______。
解：自第9，10行選出的二位數為27 , 04 , 17 , (73) , (57) , (93) , (75) , 22 , 15
我們選出之五位同學，其座號及身高如下表：

其平均值為  154 (公分)。

某班有57位學生，將每一位學生編一號碼，由1至57止，要抽測五位同學，按系統抽樣法，可以利用隨機號碼表將多出的2位捨去；也可以由1至57隨機抽出一個號碼，若為45，則被抽中的五位學生號碼是______。
解：57  11  5  2  k  11
將1至57號排成一環形如右圖，
從45號起，每隔11位選一個號碼，
即45 , 56 , 10 , 21 , 32為所求。





某年級數學科成績統計如右：
如右表分三層，用分層隨機抽樣得到十個成績為54 , 47 , 58 ,
76 , 62 , 72 , 70 , 82 , 85 , 91，則該年級平均成績為______。
解：




N  N1  N2  N3  150  200  150  500
 86，  70，  53，
∴該年級平均成績為
y    69.7。

本班30位學生數學成績如下：




依號碼1～10，11～20，21～30分成三組，以21～30的平均成績代表本班的數學成績，其平均分數為______，又此法為______抽樣。
解： [100  50  40  30  20  80  90  90  80  60]  64 (分)。
部落抽樣。




二年一班50位同學在某次的數學測驗成績如下：
64 73 43 61 58 81 94 74 54 76 88 91 38 49 52 63 78
77 87 73 52 66 71 63 74 56 82 84 77 39 72 57 68 70
80 60 90 86 63 50 61 79 47 51 63 76 79 81 89 75
試作其次數分配表，及累積次數分配表，並說明製作過程。
試將次數分配表以直方圖表之。
試作出次數折線圖與相對次數折線圖。
試作出累積次數分配曲線圖及相對累積次數分配曲線。
解：決定組數：將全部資料分為12組。
決定組距：因為 ≒4.7，所以取組距為5。
決定組界：因為最小一組的下界 38，所以我們定最小一組的下界為35，
　　　　　　上界為40。
歸類畫記：在歸類畫記時，我們採用“每組不含上界的規定”。
計算次數：算出各組的畫記數，並填入表中，而完成了下列的次數分配表。


組別 畫記 次數 以下累積次數 以上累積次數
35～40 || 2 2 50
40～45 | 1 3 48
45～50 || 2 5 47
50～55 5 10 45
55～60 ||| 3 13 40
60～65 ||| 8 21 37
65～70 || 2 23 29
70～75 || 7 30 27
75～80 ||| 8 38 20
80～85 5 43 12
85～90 |||| 4 47 7
90～95 ||| 3 50 3
計 50
其直方圖為：






因為
組別 次數 相對次數(%) 以下相對累積次數(%) 以上相對累積次數(%)
35～40 2 4 4 100
40～45 1 2 6 96
45～50 2 4 10 94
50～55 5 10 20 90
55～60 3 6 26 80
60～65 8 16 42 74
65～70 2 4 46 58
70～75 7 14 60 54
75～80 8 16 76 40
80～85 5 10 86 24
85～90 4 8 94 14
90～95 3 6 100 6
計 50
　故得次數折線圖與相對次數折線圖為：


次數



右圖為二年甲班學生體重的相對累積次數分配折
線圖，已知各組中人數最少的一組有2人，求：
人數最多的一組有多少人？
體重在50公斤以上（包含50公斤）者占全班
　人數的百分之多少？

解：人數最多的一組是55～60，其相對次數為95%  65%  30%，
　而人數最少的一組是60～65，其相對次數為100%  95%  5%，
　又人數最少的一組是2人，故人數最多的一組是2人  12人。
體重在50公斤以上的人數占全班的百分比為100%  45%  55%。

 精 選 類 題 
抽樣調查常用的方法有四：(A)簡單隨機抽樣　(B)系統抽樣　(C)分層隨機抽樣　(D)部落抽樣，下列各問題，分別使用那一種抽樣較適合？
家長會提供10分獎品給本校1500位師生。
建國新村一萬戶自來瓦斯用戶，基於經濟原則，欲調查每月瓦斯平均用量。
高速公路巡邏警員想估計駕駛員不帶駕照比率。
調查某連鎖商店每月的平均銷售貨量。
某眷區的住戶分布在社區內三條巷道的兩邊，想要了解社區全部住戶七、八月
　分的平均水費。
一個水果商想估計某大果園內的橘子個數。今已知果園分成100區，每區內橘
　子數的棵數大致相同，且在同區內每一棵樹長的橘子之個數大略相等，但各區
　間則相差很大。 答：(A)　(D)　(B)　(C)　(D)　(C)
我們知道抽樣調查的常用方法有　(A)簡單隨機抽樣　(B)系統抽樣　(C)分層隨機抽樣　(D)部落抽樣等四種。
抽查燈泡的耐用時間。
抽查市民的所得情形。
基於經濟原則，調查小學生患寄生蟲的狀況。
調查工廠某生產線的品質管制是否良好。
某公寓住宅社區的住戶分住於三棟公寓，想要瞭解社區內全部住戶四月份的平
　均電費。 答：(A)　(C)　(A)　(B)　(D)
以下抽樣方法何者較為適當？　(A)簡單隨機抽樣用於大量的樣本　(B)系統抽樣用於週期性母群體　(C)分層抽樣用於層內個體間的性質差異愈大愈好　(D)部落抽樣用於和部落間差異愈小愈好。 答：(D)
右表是某班學生數學成績的相對次數分配表：
右表“相對次數”欄由上而下分別為______。
不及格者占全班的______%，共有______人。
50～80分者占全班的______%，共有______人。
80分以上者占全班的______%，共有______人。
作其相對次數分配直方圖。
作其相對次數分配折線圖。
作出相對累積次數分配表。
作其相對累積次數分配折線圖。
答：5 , 12.5 , 20 , 30 , 22.5 , 10 , 100　17.5；7　62.5；25　32.5；13
　　 

　　 



某班數學抽考成績如下：
80 70 70 55 85 45 75 60 95 80 75 65 75 30 95 95 80 90 86 80 90 40 75 25 60
70 80 65 60 66 57 73 62 52 73 65 84 73 55 80 66 42 48 63 84 68 70 60 50 70
試將全班成績分成8組，組距10，試作：
成績次數分配表　累積次數分配表　累積次數曲線圖。
答：　　　　　　　　　　　　　　　　　　 


下圖所示為某公司應徵人員身高的相對累積次數分配折線圖，若初選的條件
　為身高165公分～180公分，則初選合格的百分比為______%。
承，設應徵人員有250人，問身高在170公分以上而不滿175公分的人數共
　有______人。
承，哪一組的人數最多？ 答：70　50　165～170

圖 圖
上圖為某班全體學生體重的相對次數分配折線圖，則體重不滿50公斤者所占之百分比為______%。 答：65

３-６　平均數
３-７　離差

未分組資料：
算術平均數( )：
　設n個數值分為x1 , x2 , … , xn，則其算術平均數為 (x1  x2  …  xn)。
中位數(Me)：
　n個數值x1 , x2 , … , xn，按其大小順序排列為x(1)  x(2)  x(3)  …  x(n)。
　若n  2k  1，即n為奇數，則第k  1個數值為中位數，因此
　　Me  x(k  1)  。
　若n  2k，即n為偶數，則中間兩數x(k)與x(k  1)均位置居中，因此一般以此
　　兩數值的算術平均數為中位數，即
　　Me  (x(k)  x(k  1))。
幾何平均數(G.M.)：
　一組正數資料x1 , x2 , … , xn的幾何平均數（簡寫成G.M.）是定義為
　G.M.  。
眾數(Mo)：
　一組資料中出現次數最多的數，稱為眾數。
　例如：
　2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10的眾數是9。
　2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7的眾數是4和7。
　3, 5, 8, 11, 15, 17，則沒有眾數。
全距(R)：
　全距R  (數值資料中之最大數) – (數值資料中之最小數)。
四分位差(Q.D.)：
　將n個數值資料由小而大依序排列，先求中位數Me，再依此求第1四分位數Q1，
　第3個分位數Q3，則四分位差Q.D.  (Q3 – Q1)。
變異數( )與標準差(S)：
　變異數：（又稱樣本變異數）
　　設有一組抽樣資料x1 , x2 , … , xn，則其變異數（或稱樣本變異數）簡寫成 ，
　　定義為  。
　標準差：（又稱樣本標準差）
　　標準差（或稱樣本標準差）簡寫成S，定義成S  。
　　◎由未分組資料求標準差：
　　　設n個抽樣資料為x1 , x2 , x3 , … , xn，設 表x1 , x2 , … , xn之算術平均數
　　　∵  ……
　　　　　  
　　　　　   ……
　　　∴由、知S   。
母體變異數( )與母體標準差( )：
　離差：
　　設有一組資料x1 , x2 , … , xn平均數為 ，則當第i筆資料x1的離差定義為
　　 。
　平均絕對離差：
　　一組資料x1 , … , xn的平均絕對離差(MAD)是資料(xi)與平均數( )差距絕對值
　　的平均，即MAD  。
　母體變異數：
　　　設一母體有N個資料x1 , x2 , … , xn，則此組資料的母體變異數（寫成 ）
　　　是所有資料的平方離差之平均，即 ，其中  為母
　　　體平均數。
　　母體標準差：
　　　設一母體有N個資料x1 , x2 , … , xn，則此組資料的母體標準差（寫成）
　　　是母體變異數 的開方，即 。
已分組資料：
算術平均數( )：
　如果統計資料數量很多，則必須先將資料分組，然後再求分組資料的平均數。
　計算已分組資料的算術平均數時，係將各組的代表值（組中點）乘以其各自出
　現的次數，各項乘積相加求得總和後，再除以總次數。
　即，若
　　　則 (f1x1  f2x2  …  fkxk)  。
中位數(Me)：
　將n個數值資料分組整理，得一次數分配表：
組 別 次數f 以下累積次數C
L1 ~ U1 f1 C1  f1
  
Li1 ~ Ui1 fi1 Ci1  f1  f2  …  fi1
Li ~ Ui fi Ci  f1  f2  …  fi1 fi
  
Lk ~ Uk fk Ck  n
總 計 n
　　若Ci1   Ci，則中位數Me必落在第i組的下限Li與上限Ui內。
　
　因 ，故得Me  Li  (Ui – Li)；
　同理可求得Me  Ui  (Ui – Li)。
幾何平均數(G.M.)：
　在n個數值資料中，經分組整理得一次數分配，第i組組中點x1有fi個數值，
　則這n個數值資料的幾何平均數相當於G.M.  ，
　式中f1  f2  …  fk  n為總次數。
眾數(Mo)：
　相對次數分配折線圖中，縱坐標最大的那一組即是眾數所在的組。
全距(R)：
　全距R  (最大一組的上限) – (最小一組的下限)。
四分位差(Q.D.)：
　在分組資料中，一般以第 項為Q1，第 項為Q3來估計。
　Qk的求法與中位數的求法相同
　
　其中 表示Qk所在組的下限， 表示組中點小於 之各組次數之總和，
　　　 表示Qk所在組的次數， 表示Qk所在組的組距，
　得四分位差Q.D.  (Q3 – Q1)。
變異數( )與標準差(S)：
◎由已分組資料求標準差：將n個數值資料分成k組，設各組內的資料密集於組
　中點x1或均勻的散布在組距內，第i組的次數為fi，則此n個資料之標準差S
　的求法如下：
　　由題意知，算術平均數 　 ，且 。
　《普通法》
　　 ……
　　　  
　　　   ……
　　由、知S   。
　《已分組簡捷法求標準差》
　　 。
線性關係：
四分位差(Q.D.)：
　一群資料x的n個數值x1 , x2 , … , xn的四分位差Q.D.  ，則資料Y的n個數
　值ax1  b , ax2  b , … , axn  b的四分位差Q.D.  | a |  。
標準差(S)：
　設X表示一群數值資料，SX表X的標準差，bX  a表示X數值的b倍另加a
　的一群資料，則恆有下列關係：
　若SX  0，則X中的各數必全部相等。
　S(X  a)  SX，其意義是將一群資料平移後，其標準差不變。
　S(bX)  | b | SX，其意義是將一群資料增加或減為原來的| b |倍後，其標準差為
　　原標準差之| b |倍。
　S(bX  a)  | b | SX，其意義是將一群資料增加或減為原來的| b |倍後，再平移，
　　其標準差為原標準差之| b |倍。

94位選手參加某次高爾夫球比賽成績（桿數）如下：

試求平均成績______　中位數______　眾數______　全距______　
　　標準差______。
解： (65  1  66  2  67  4  68  8  69  16  70  32  71  16  72  8
 73  4  74  2  75  1)  70。
∵  47，  1  48，又1  2  4  8  16  31，
　∴第47, 48位的桿數為70, 70 ∴Me  (70  70)  70。
Mo  70。
R  75 – 65  10。
∵  (5)2  1  (4)2  2  (3)2  4  (2)2  8  (1)2  16
 02  32  12  16  22  8  32  4  42  2  52  1  282。
　∴標準差S  ≒1.74。

某次競試100人參加，考試結果其成績如下：

求下列各值：
平均數為______　中位數為______ 標準差（以四捨五入，取至小數點後第一位） 若以下累積次數分配曲線圖上有一點(60, a)，求a ______。
解： 組別 組中點
xi 次數
fi 以下累積
次數Ci A = 65
xi  A



20～30 25 3 3 40 4 12 48
30～40 35 6 9 30 3 18 54
40～50 45 10 19 20 2 20 40
50～60 55 16 35 10 1 16 16
60～70 35 30 65 0 0 0 0
70～80 75 21 86 10 1 21 21
總計 17 235
  65   (17)  65 – 1.7  63.3。
∵  50 ∴  Me  65。
∵
　∴S  10   10 
  ≒ ≒15.3。
由上表得a  35。

有n個數值x1 , x2 , x3 , … , xn的算術平均數為40，中位數為45，眾數為42，全距為50，四分位差為6，標準差為3，求3x1  2 , 3x2  2 , … , 3xn  2的：
算術平均數______　中位數______　眾數______　全距______
四分位差______　　標準差______。
解：令yi  3xi  2，  2  3  40  2  118。
Me (3x  2)  3Me(x)  2  3  45  2  135  2  133。
Mo (3x  2)  3Mo(x)  2  3  42  2  126  2  124。
R (3x  2)  3R(x)  3  50  150。
Q.D. (3x  2)  3Q.D.(x)  3  6  18。
S (3x  2)  3S(x)  3  3  9。
 精 選 類 題 
有一組資料的次數分配表如下，則：

算術平均數為______　標準差為______四分位差為______。
答：7　2.45　4
高三某班的第二次段考國文成績次數分配表如下，試求下列各值：

算術平均數 ______ 標準差S ______。 答：76.52　13.33
測量一物件的長度9次，得其長（公尺）為2.43 , 2.46 , 2.41 , 2.45 , 2.44 , 2.48 , 2.46 , 2.47 , 2.45，將上面的數據每一個都乘以100，再減去240得一組新數據為3 , 6 , 1 , 5 , 4 , 8 , 6 , 7 , 5，問下列選項何者為真？
(A)新數據的算術平均數為5　(B)新數據的標準差為2　
(C)原數據的算術平均數為2.45　(D)原數據的標準差為0.2　
(E)原數據的中位數為2.45。 【88甄試】 答：(A)(C)(E)
有兩變量X：x1 , x2 , … , xn，Y：y1 , y2 , … , yn，已知Y  2X  7，則
(A)算術平均數  3時，  13　(B)標準差SX  1時，SY  9　(C) X之中位數為3時，Y之中位數為13　(D) X之全距為5時，Y之全距為17　(E) X之四分位差為10時，Y的四分位差為20　(F) X之眾數為65時，Y的眾數為137。
答：(A)(C)(E)(F)
測量一物件的長度9次，得其長（公尺）且9次母體的資料為3.31 , 3.34 , 3.38 ,
3.33 , 3.35 , 3.36 , 3.35 , 3.37 , 3.36，將上面的數據每一個都乘以100，並減去330得一組新數據，則：
(A)新數據算術平均數為5　(B)原數據的  3.45　(C)新數據SY  2　
(D)原數據SX  0.02　(E)原數據的中位數為3.36。 答：(A)(C)(D)
一群資料x的n個數值為x1 , x2 , … , xn的四分位差Q.D.  ，則資料Y的n個數值5x1 – 2 , 5x2 – 2 , … , 5xn – 2的四分位差Q.D. ______。(以 表之) 答：5
一群資料x的n個數值為x1 , x2 , … , xn的四分位差Q.D.  ，則資料Y的n個數值5x1  2 , 5x2  2 , … , 5xn  2的四分位差Q.D. ______。(以 表之) 答：5
十三個正數依大小次序1, 2, 2, 3, a, a, b, c, c, c, 9, 11, 11排成一列，若中位數是6，眾數是8，算術平均數是6，則a ______。 答：
2, 4, 8, 16, 32的幾何平均數為______，算術平均數為______。 答：8；12.4
某球隊參加某次棒球比賽，每局得分的紀錄如下：

設其算術平均數為a，中位數為b，眾數為c，則下列何者正確？
(A) a  b  c　(B) b  c  a　(C) c  a  b　(D)c  b  a　(E) b  a  c。 答：(D)
有10人在某次考試平均分數為67，標準差為4，若10個人中的8個人得分是61, 63, 64, 65, 67, 68, 71, 72，另二人得分是a, b，若a  b，則序組(a, b) ______。
答：(66, 73)
一組資料為xi  5  2  (i – 1)，i  1, 2, 3, … , 100，試求此組資料的
中位數Me　第1四分位數Q1　第3四分位數Q3　Q.D.。
答：104　54　154　100
試求下列13個數值的第1四分位數、第3四分位數與四分位差：
53, 45, 44, 58, 62, 71, 68, 55, 57, 63, 65, 50, 51。 答：Q1  51；Q3  63；Q.D.  12
一組資料為2, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 18，試求：
第1四分位數Q1　第3四分位數Q3　四分位差Q.D.。
答：7　13　6
設有1, 2, 4, 5, 5, 6, 8, 10等8個數值，則其：
四分位差　標準差（答案以根號表之）。 答：4　
某班5位同學之體重依次為47, 48, 50, 52, 53，試求：
算術平均數　標準差。 答：50　
某班數學老師算出學生學期成績後，鑑於學生平時都很用功，決定每人各加5分（加分後沒人超出滿分），則加分前與加分後，學生成績統計數值絕對不會改變的有　(A)算術平均數　(B)中位數　(C)標準差　(D)變異係數　(E)全距。
【88自】 答：(C)(D)
已知兩種變量X與Y的關係式為2Y  3X  40，又變量X的算術平均數為36，標準差為2.4，試求變量Y的算術平均數 　標準差SY。 答：74　3.6
林君欲計算一組已知為30個數值資料的算術平均數 及標準差S，因一時大意，將其中一數“60”多算一次，當時未察覺，仍視為30個數值計算之，得  62,
S  4，事後發覺錯誤必須更正，但原始資料已經廢棄，試推算其正確結果應為
 ______，S  ______（用根號 表之）。 答：60；
提示：x1  x2  …  x30  60  30  62   1800,
(  (30  62)2  29  42   112184。
有21個數值，其算術平均數為32，標準差為3，今發覺其中“35”一數必須刪除，則所剩20個數值的變異數 為______。 答：8.98
提示：35   21  32   637，又  (21  32)2  20  32
  20459, Sxx   20459   6372  170.55
  170.55≒8.98。
某人買了11本書，平均價格為52元，標準差為10元，現退回其中一本書，已知該書價格為72元，若不檢視剩下的10本書之價格，則這10本書之平均價格為______，標準差為______元。 答：50；7.89
提示：72   11  52   500，又  (11  52)2  10  102
  25560, Sxx   25560   5002  560
  50, S  ≒7.89。
某班某次考試，成績奇差，總平均為53.6，標準差為13.2，經開會決定每人加15分，則總平均與標準差分別變為多少？ 答：68.6；13.2
設變量x的算術平均數為 ，標準差為S；令y  ，試求變量y的算術平均數 與標準差Sy。 答： ；