外交官的奇想

外交官的奇想

哥德巴赫是十八世紀普魯士 (Prussia) (即現在之德國的一部份) 數學家。但他不是自幼學習數學，他本是法律系畢業的學生。1725年，他來到俄國，出眾的才華使他成為俄羅斯科學院 (Russian Academy of Sciences) 院士和兼任秘書，1742 年，他被德國任命為駐莫斯科 (Moscow) 外交公使。

哥德巴赫閒來喜愛思考數學問題，有一天他對

奇數 = 奇數 + 奇數 + 奇數

這一數學常理感興趣。哥德巴赫討來一些數字來測試，發其中似乎會有一更完美的現象：

奇數 = 奇素數 + 奇素數 + 奇素數

哥德巴赫再以更大的奇數來測試，全是對的。於是他大膽的作了一個奇想：「任何一個不小於 9 的奇數均可寫成三個奇素數之和。」

如：
9

=3+3+3






11

=3+3+5






13

=3+3+7

=3+5+5




15

=3+5+7

=5+5+5




17

=3+3+11

=3+7+7

=5+5+7


19

=3+3+13

=3+5+11

=5+7+7


21

=3+5+13

=3+7+11

=5+5+11

=7+7+7
23

=3+3+17

=3+7+13

=5+5+13

=5+7+11
...

...

...

...

...

哥德巴赫對他這個猜想，他本人無法給出證明和解釋。 1742年 6月 7日，當時 52歲的哥德巴赫寫了一封信給身在俄國 聖彼得堡 (Saint Petersburg) 工作的瑞士數學家歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) ，信中告訴歐拉他的發現並希望歐拉可替他作出證明或否定。其實自 1729年 至 1764年，他們二人一直有書信往來，長達 35年的情誼，實難得。

同年 6月 30日，歐拉的回信中說：「任何不小於 9 的奇數都可寫成三奇素數之和，我雖未能給出嚴格證明，但我確無疑地認為這是正確的結論。」另外歐拉亦提出：任何不小於 6 的偶數都可寫成二奇素數之和。

其實 4 = 2 + 2 也是可以表達為兩素數之和的偶數，而 7 = 2 + 2 + 3 也可以寫成三素數之和：但古人對偶數存有歧見，故在列寫命題時把之除外了。顯然，若關於三素數之和的問題被解決了，兩素數之和的問題也迎刃而解。因任何一不小於 9 的奇數均可寫成 3 和一個不小於 6 的偶數的和。該偶數又可寫成兩奇素數的和，連同 3 這一奇素數，合共便是三個奇素數了。但反之則不可，於是我們稱這兩道問題為「哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture)」 (其中關於三素數之和的猜想又稱作「華林素數猜想 (Waring's Prime Number Conjecture) 」 ) ，不過古往今來的數學家通常多提偶數的哥德巴赫猜想而已。

哥德巴赫猜想的出現，很快便成了數論 (Number Theory) 的新寵兒，數學家們爭相為此獻計，可惜證明工作有如攀登高峰一樣舉步維艱。1900年，德國數學大師希爾伯特 (David Hilbert 1862-1943) 在巴黎舉行的第二屆國際數學家會議 (International Congresses of Mathematicians) 上為十九世紀的數學工作總結時，把這問題和黎曼猜想 (Riemann Hypothesis) 納進其廿三條數學未解之謎中的第八題，當中大部份的難題在上一世紀已獲解決。數論學者更把哥德巴赫猜想和費馬大定理 (Fermat's Last Theorem) 與及孿生素數猜想 (Twin Primes Conjecture) 並列為數論三大難題，這有如數學皇冠上的明珠，是數學家夢寐的目標 ，可見這猜想的重要性。