經典悖論漫游
古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數學的基礎，激發了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。
1 由自指引發的悖論
以下諸例都存在著一個概念自指或自相關的問題：如果從肯定命題入手，就會得到它的否定命題；如果從否定命題入手，就會得到它的肯定命題。
1.1 謊言者悖論
公元前六世紀，哲學家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides)：“所有克利特人都說謊，他們中間的一個詩人這么說。”這就是這個著名悖論的來源。
《圣經》里曾經提到：“有克利特人中的一個本地中先知說：‘克利特人常說謊話，乃是惡獸，又饞又懶’”(《提多書》第一章)。可見這個悖論很出名，但是保羅對于它的邏輯解答并沒有興趣。
人們會問：艾皮米尼地斯有沒有說謊？這個悖論最簡單的形式是：“我在說謊”
如果他在說謊，那么“我在說謊”就是一個謊，因此他說的是實話；但是如果這是實話，他又在說謊。矛盾不可避免。它的一個翻版：“這句話是錯的”這類悖論的一個標準形式是：如果事件A發生，則推導出非A，非A發生則推導出A，這是一個自相矛盾的無限邏輯循環。拓撲學中的單面體是一個形像的表達。
哲學家羅素曾經認真地思考過這個悖論，并試圖找到解決的辦法。他在《我的哲學的發展》第七章《數學原理》里說道：“自亞里士多德以來，無論哪一個學派的邏輯學家，從他們所公認的前提中似乎都可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病的，但是指不出糾正的方法是什么。在1903年的春季，其中一種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。”
他說：謊言者悖論最簡單地勾畫出了他發現的那個矛盾：“那個說謊的人說：‘不論我說什么都是假的’。事實上，這就是他所說的一句話，但是這句話是指他所說的話的總體。只是把這句話包括在那個總體之中的時候才產生一個悖論。”(同上)
羅素試圖用命題分層的辦法來解決：“第一級命題我們可以說就是不涉及命題總體的那些命題；第二級命題就是涉及第一級命題的總體的那些命題；其余仿此，以至無窮。”但是這一方法并沒有取得成效。“1903年和1904年這一整個時期，我差不多完全是致力于這一件事，但是毫不成功。”(同上)
《數學原理》嘗試整個純粹的數學是在純邏輯的前提下推導出來的，并且使用邏輯術語說明概念，回避自然語言的歧意。但是他在書的序言里稱這是：“發表一本包含那么許多未曾解決的爭論的書。”可見，從數學基礎的邏輯上徹底地解決這個悖論并不容易。
接下來他指出，在一切邏輯的悖論里都有一種“反身的自指”，就是說，“它包含講那個總體的某種東西，而這種東西又是總體中的一份子。”這一觀點比較容易理解，如果這個悖論是克利特以外的什么人說的，悖論就會自動消除。但是在集合論里，問題并不這么簡單。
1.2 理發師悖論
在薩維爾村，理發師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發的人理發。”有人問他：“你給不給自己理發？”理發師頓時無言以對。
這是一個矛盾推理：如果理發師不給自己理發，他就屬于招牌上的那一類人。有言在先，他應該給自己理發。
反之，如果這個理發師給他自己理發，根據招牌所言，他只給村中不給自己理發的人理發，他不能給自己理發。
因此，無論這個理發師怎么回答，都不能排除內在的矛盾。這個悖論是羅素在一九○二年提出來的，所以又叫“羅素悖論”。這是集合論悖論的通俗的、有故事情節的表述。顯然，這里也存在著一個不可排除的“自指”問題。
1.3 集合論悖論
“R是所有不包含自身的集合的集合。”
人們同樣會問：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定義，R應屬于R。如果R包含自身的話，R又不屬于R。
繼羅素的集合論悖論發現了數學基礎有問題以后，1931年歌德爾(Kurt Godel ，1906－1978，捷克人)提出了一個“不完全定理”，打破了十九世紀末數學家“所有的數學體系都可以由邏輯推導出來”的理想。這個定理指出：任何公設系統都不是完備的，其中必然存在著既不能被肯定也不能被否定的命題。例如，歐氏幾何中的“平行線公理”，對它的否定產生了幾種非歐幾何；羅素悖論也表明集合論公理體系不完備。
1.4 書目悖論
一個圖書館編纂了一本書名詞典，它列出這個圖書館里所有不列出自己書名的書。那么它列不列出自己的書名？
這個悖論與理發師悖論基本一致。
1.5 蘇格拉底悖論
有“西方孔子”之稱的雅典人蘇格拉底(Socrates，公元前470－前399)是古希臘的大哲學家，曾經與普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名詭辯家相對。他建立“定義”以對付詭辯派混淆的修辭，從而勘落了百家的雜說。但是他的道德觀念不為希臘人所容，竟在七十歲的時候被當作詭辯雜說的代表。在普洛特哥拉斯被驅逐、書被焚十二年以后，蘇格拉底也被處以死刑，但是他的學說得到了柏拉圖和亞里斯多德的繼承。
蘇格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”
這是一個悖論，我們無法從這句話中推論出蘇格拉底是否對這件事本身也不知道。古代中國也有一個類似的例子：
1.6 “言盡悖”
這是《莊子?齊物論》里莊子說的。后期墨家反駁道：如果“言盡悖”，莊子的這個言難道就不悖嗎？我們常說：“世界上沒有絕對的真理”
我們不知道這句話本身是不是“絕對的真理”。
1.7 “荒謬的真實”
有字典給悖論下定義，說它是“荒謬的真實”，而這種矛盾修飾本身也是一種“壓縮的悖論”。悖論(paradox)來自希臘語“para＋dokein”，意思是“多想一想”。
這些例子都說明，在邏輯上它們都無法擺脫概念自指所帶來的惡性循環。有沒有進一步的解決辦法？在下面一節的最后一部份還將繼續探討。
2 引進無限帶來的悖論
《墨子.經說下》中有一句話：“南方有窮，則可盡；無窮，則不可盡。”如果在有限中引進無限，就可能引起悖論。
2.1 阿基里斯悖論
稍晚于畢達哥拉斯的古希臘數學家芝諾(Zeno of Elea)，曾經提出過一些著名的悖論，對以后數學、物理概念產生了重要影響，阿基里斯悖論是其中的一個。
阿基里斯(Achilles)是希臘神話中善跑的英雄。芝諾講：阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微領先于他的烏龜，因為當他要到達烏龜出發的那一點，烏龜又向前爬動了。阿基里斯和烏龜的距離可以無限地縮小，但永遠追不上烏龜。
方勵之先生曾經用物理語言描述過這個問題：在阿基里斯悖論中使用了兩種不同的時間度量。一般度量方法是：假設阿基里斯與烏龜在開始時的距離為S，速度分別為V1和V2。當時間T = S／(V1－V2)時，阿基里斯就趕上了烏龜。
但是芝諾的測量方法不同：阿基里斯將逐次到達烏龜在前一次的出發點，這個時間為T＇。對于任何T＇，可能無限縮短，但阿基里斯永遠在烏龜的后面。關鍵是這個T＇無法度量T = S／(V1－V2)以后的時間。
2.2 二分法悖論
這也是芝諾提出的一個悖論：當一個物體行進一段距離到達D，它必須首先到達距離D的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以無窮地劃分下去。因此，這個物體永遠也到達不了D。
這些結論在實踐中不存在，但是在邏輯上無可挑剔。
芝諾甚至認為：“不可能有從一地到另一地的運動，因為如果有這樣的運動，就會有‘完善的無限’，而這是不可能的。”如果阿基里斯事實上在T時追上了烏龜，那么，“這是一種不合邏輯的現象，因而決不是真理，而僅僅是一種欺騙”。這就是說感官是不可靠的，沒有邏輯可靠。
他認為：“窮盡無限是絕對不可能的”。根據這個運動理論，芝諾還提出了一個類似的運動佯謬：
2.3 “飛矢不動”
在芝諾看來，由于飛箭在其飛行的每個瞬間都有一個瞬時的位置，它在這個位置上和不動沒有什么區別。那么，無限個靜止位置的總和就等于運動了嗎？或者無限重復的靜止就是運動？中國古代也有類似的說法，如：“飛鳥之景，未嘗動也”
這是中國名家惠施的命題，與“飛矢不動”同工異曲。這就是不可抗拒的推理和不可回避的實事相沖突。
德國哲學家尼采在《希臘悲劇時代的哲學》里有一章《可疑的悖論》，稱芝諾的悖論為“否定感官的悖論”。盡管阿基里斯在賽跑中追上起步領先的烏龜完全合乎事實，但為什么“不合邏輯”？因為芝諾運用了“無限”這個概念，這是一種邏輯上的假設，而現實世界里是不可能有無限者存在的，這就出現了假設與現實的矛盾。
尼采說道：在這兩個悖論里，“無限”被利用來作為化解現實的硝酸。如果無限是決不可能成為完善的，靜止決不可能變為運動，那么，真相是箭完全沒有飛動，它完全沒有移位，沒有脫離靜止狀態，時間并沒有流逝。
換句話講，在這個所謂的、終究只是冒牌的現實中，既沒有時間、空間，也沒有運動。最后，連箭本身也是一個虛象，因為它來自多樣性，來自由感官喚起的非一的幻象。下面是尼采的分析：
假定箭擁有一種存在，那么，它就是不動的、非時間的、非造而有的、固定的、永恒的。這是一個荒謬的觀念！
假定運動是真正的實在，那么，就不存在靜止。因而，箭沒有位置、沒有空間。又是一個荒謬的觀點！
假定時間是實在的，那么，它就不可能被無限地分割。箭飛行所需要的時間必定由一個有限數目的瞬間組成，其中每個瞬間都必定是一個原子。仍然是一個荒謬的觀念！
尼采得出這樣的結論：我們的一切觀念，只要其經驗所與的、汲自這個直觀世界的內容被當作“永恒真理”，就會陷入矛盾。如果有絕對運動，就不會有空間；如果有絕對空間，就不會有運動；如果有絕對存在，就不會有多樣性；如果有絕對的多樣性，就不會有統一性。
事實上，這兩個悖論中提到的這個“動與不動”的對立統一，今天都已經得到了完美的解決，這就是極限理論的誕生。牛頓在運動學研究時，初創微積分，但由于沒有鞏固的理論基礎，出現了歷史上的“第二次數學危機”。十九世紀初，法國科學家以柯西為首建立了極限理論，后來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為微積分的堅定基礎，運動問題也得到了合理的解釋。
可以想見，在微積分和極限理論發明或被接受以前，人們很難解釋這一運動佯謬。感官不同于思維，當希臘人用概念來判決現實的時候，如果邏輯與現實發生矛盾，芝諾指責感官為“欺騙”。當思維找不到合理解釋的時候，直觀的形式、象征或比喻都無濟于事。尼采的分析
雖然詳細、精辟，但他無法把它們綜合起來。
2.4 “一尺之捶，日取其半，萬世不竭”
這是《莊子.天下》中惠施的一句名言。二千多年前中國古人同樣運用了無限的概念。
戰國名家宋國人惠施(約公元前370－前310)曾任梁國的宰相，論辯奇才，是莊子的朋友，和公孫龍并列為名家的代表人物。他的著作多已亡佚，只能從其他諸家的論述中看到他的言行片段。
惠施的學說強調萬物的共相，因而事物之間的差異只是一種相對的概念，現存與惠施有關的奇怪命題，例如，“山與澤平”、“卵有毛”、“雞三足”、“犬可以為牛”、“火不熱”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤駒未嘗有母”等，都可以說是悖論，但是大部份沒有留下具體的爭辯過程。惠施的悖論在西方也很有影響。
毛澤東從辯證法的角度基本接受惠施無限可分的觀點。一九六四年八月十八日，他同哲學工作者談話時說：“列寧講過，凡事可分。舉原子為例，不但原子可分，電子也可分。”又說：“電子本身到現在還沒有分裂，總有一天能分裂的。‘一尺之捶，日取其半，萬世不竭’，這是個真理。不信，就試試看。如果有竭就沒有科學了。”
有人注意到，毛澤東十分偏愛這句話，如五十年代中期對家錢三強，一九六四年八月同周培源、于光遠，一九七三年、一九七四年接見楊振寧、李政道，等等，都提到這句話。
2.5“1厘米線段內的點與太平洋面上的點一樣多”
多少哲學家、數學家都唯恐陷入悖論而退避三舍。二十三歲獲博士學位的德國數學家康托爾(1845－1918)六年以后向無窮宣戰。他成功地證明了：一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應，也能和空間中的點一一對應。由于無限，1厘米長的線段內的點，與太平洋面上的點，以及整個地球內部的點都“一樣多”。
然而，康托爾的“無窮集合”與傳統的數學觀念發生沖突，遭到謾罵。直到一八九七年第一次國際數學家會議，他的成果才得到承認，幾乎全部數學都以集合論為基礎。羅素稱贊他的工作“可能是這個時代所能夸耀的最巨大的工作。” 同時，集合論中也出現了一些自相矛盾的現象，尤其是羅素的理發師悖論，以極為簡明的形式震撼了數學的基礎，這就是“第三次數學危機”。此后，數學家們進行了不懈地探討。
例如，一九九六年英國劍橋大學出版社出版了亨迪卡的《數學原理的重新考察》，這本書以羅素的《數學原理》(1903)為藍本的，試圖完善邏輯和數學基礎。它主要闡述了亨迪卡和桑朵新創的IF(Independence-Friendly First-Order Logic)邏輯及其可能產生的影響。它挑戰了許多公認的觀念，如公理集合論作為數學理論的適當框架，對說謊者悖論也作了進一步的探討。它是否將引起一場邏輯和數學基礎的革命？我們還將拭目以待。
3 由一因多果片面推理引致的悖論
這種形式的悖論類似于詭辯。詭辯在現實中是令人厭惡的，但是在邏輯學的探討中有相當的位置。孔多塞說：“希臘人濫用日常語言的各種弊端，玩弄字詞的意義、以便在可悲的模棱兩可之中困攪人類的精神。可是，這種詭辯卻也賦予了人類的精神以一種精致性，同時它又耗盡了他們的力量來反對虛幻的難題。”
古希臘哲學流派中曾經有一個詭辯學派，又叫智者派。他們對自然哲學持懷疑態度，認為世界上沒有絕對不變的真理。前面提到的普洛道格拉斯(Pro－tagras，約公元前485－前410)是其著名的代表人物，他認為：“人是衡量萬物的尺度。”雅典政府因其主張無神論，予以驅逐并焚燒了他的書籍。
從蘇格拉底到亞里斯多德都反對詭辯學說，黑格爾說，蘇格拉底常運用他的辯證法去攻擊詭辯學派，尤其是普洛道格拉斯。盡管這些智者的理論多已失傳，我們仍然可以從亞里斯多德的《形而上學》(吳壽彭譯)中了解一些當時的論辯。
根據亞里斯多德的記載，柏拉圖(Plato，公元前427－前347)曾說：詭辯是專討論“無事物”的，因為詭辯派的論題老是糾纏于事物的屬性。例如，“文明的”與“讀書的”為同抑異，“文明的哥里斯可”與“哥里斯可”是否相同？以及每一事物并不常是而今是者，是否便當成是，由茲而引致(悖解)的結論(同上)。
斥形式邏輯而提倡辯證法的黑格爾(1770－1831)說柏拉圖發明了辯證法。“柏拉圖運用辯證法以指出一切固定的知性規定的有限性。他從一推演出多，但仍然指出多之所以為多，復只能規定為一。”(《小邏輯》)
亞里斯多德認為：凡現存的事物其生成與消失必有一個過程，而屬性事物則不然。然而，我們還得盡可能地追蹤偶然屬性之本質與其來由；也許因此可得明白何以不能成立有關屬性的學術(《形而上學》卷六章二)。在他看來，詭辯理論就是“有關屬性的學術”而不是“屬性之本質與其來由”。
詭辯完善的是學術體系，而不是知識。孔多塞在《人類精神進步史表綱要人類精神進步史表綱要》(何兆武、何冰譯)的《第四個時代》中說：然而希臘的智者和希臘的學人，“并沒有發現真理，反而是在鑄造各種體系；他們忽視了對事實的觀察，為的是自己好投身于自己的想象之中；他們既然無法把自己的意見置于證明的基礎之上，便力圖以詭辯來維護它們。”
可見，詭辯學派的致命點就是忽略“本質”而糾纏“屬性”，從現存的事物中推論出悖解的結論來，而不詳細考察事物的真實，在實踐的基礎上加以證明。對付詭辯最好的方式是運用辯證法并在實踐中加以考證。
3.1 “什么是詭辯？”
有學生問他的希臘老師：“什么是詭辯？”老師反問到：“有甲乙兩人，甲很干凈，乙很臟。如果請他們洗澡，他們中間誰會洗？”
這里有四種可能，一是甲洗，因為他有愛干凈的習慣；二是乙洗，因為他需要；三是兩人都洗，一個是因為習慣，另一個是因為需要；四是兩人都沒洗，因為臟人沒有洗澡的習慣，干凈人不需要洗。這四種可能彼此相悖，無論學生作出怎樣的回答，老師都可以予以反駁，因為他不需要有一個客觀的標準，這就是詭辯。
3.2 “父在母先亡”
這是一個可以自圓其說的乩語。它也有四種解釋：一是“父在，母先亡”；二是“父在母之先亡”；三是如果父母健在，可以解釋為將來；四是即使父母都去世了，也可以解釋為“父親在的時候，母親就去世了。”或者是“父親在母親以前就去世了。”真是左右逢源。
從邏輯順序上看，上面這兩個例子正好是反其道而用。無論正命題還是反命題都可以根據所謂的客觀理由進行詭辯，形成自圓其說或詰難。所以葛拉西安在《智慧書：永恒的處世經典》中說：“詭辯是一種欺騙，乍一聽，它蠻有道理，并因其刺激、新奇而令人心驚，但隨后，當其虛飾之偽裝被揭穿，就會自取其辱。”
3.3 鄧析贖尸詭論
《呂氏春秋》記載了這樣一個故事：洧水發了大水，淹死了鄭國富戶家的一員。尸體被別人打撈起來，富戶的家人要求贖回。然而撈到尸體的人要價太高，富戶的家人不愿接受，他們找鄧析出主意。鄧析說：“不用著急，除你之外，他還會賣給誰？”撈到尸體的人等得急了，也去找鄧析要主意。鄧析卻回答：“不要著急，他不從你這里買，還能從誰那里買？”
鄧析生在春秋末年，與老子和孔子基本同時，是戰國名家的鼻祖，著名的訟師，他的著作已經失傳。
同一個事實，鄧析卻推出了兩個相反的結論，每一個聽起來都合乎邏輯，但合在一起就荒謬了。鄧析是不是希望他們相持一段時間后，雙方都可以找到一個可以接受的價格平衡點？我們只能猜測。
后來，鄧析被殺，就是因為子產認為他“以非為是，以是為非，是非無度，而可與不可日變”。可見，鄧析是一個沒有原則的人。身為訟師，鄧析善于辭辯，而不跳出詭論尋找客觀的解決辦法。嚴謹的邏輯推理固然具有說服性，但最終還是要回到現實中來。
3.4 公孫龍論秦趙之約
《呂氏春秋》介紹過公孫龍的一個詭論：秦國與趙國訂立條約：今后，秦國想做的，趙國幫助；趙國想做的，秦國幫助。不久，秦國興師攻打魏國，趙國打算援救。秦王不高興，差人對趙王說：秦國想做的，趙國幫助；趙國想做的，秦國幫助。現在秦國要打魏國，而趙國援救他們，這是違約。趙王把這個消息轉告給平原君，平原君向公孫龍請教。公孫龍回答：“趙王也可以派人對秦王說：趙國打算援救魏國，現在秦國卻不幫助趙國，這也不合乎條約。”
不管這個寓言的真實性如何，他的推理無懈可擊。公孫龍對于秦趙之約的回應，與鄧析贖尸詭論一脈相承。但公孫龍是站在弱小的趙魏這一邊反對強秦的。
3.5 “彼亦一是非，此亦一是非。”
這是《莊子?齊物論》中的一句話，以強調事物的相對性而著稱，比如，人睡在潮濕的地方會腰疼，但泥鰍會腰疼嗎？人爬到高樹上會膽怯，猿猴會膽怯嗎？于是，他的結論是：“彼亦一是非，此亦一是非。”各有各的相對標準。
《團結報》曾經刊登過一篇一勺的《名師出高徒》。說康白情1919年前在北京大學選修馬敘倫先生的“老莊哲學”，沒有一次不遲到。有一次，馬敘倫責問康白情為什么姍姍來遲。康白情回答：“住得太遠。”馬先生不以為然，反問道：從你的住處走到這里只要三、五分鐘，怎么叫太遠！康白情也不示弱，說：先生講莊子，莊子說：“彼亦一是屋非，此亦一是非”。先生不以為遠，而我以為遠。馬敘倫一時無話可說。
3.6 “我沒有受賄”
一個商人被控受賄。他宣稱：“我沒有受賄。”
顯然，這個商人既是觀察者也是被觀察者。我們不知道他是以觀察者的身份進行辯護，還是以被觀察者的身份進行詭辯。這兩種推論都合乎邏輯，如果沒有別的證據，就不能判決(引自“Web Dictionary of Cybernetics and Systems”)。
3.7 囚犯詭論
甲乙兩人偷東西，人贓俱物。他們被分開審問，可能的懲罰如下：
甲、乙均否認；甲、乙各一年監禁
乙承認、甲否認：乙釋放、甲五年監禁
乙否認、甲承認：甲釋放、乙五年監禁
甲、乙均承認；甲、乙各三年監禁
甲乙二囚犯都會想到對自已最有利的去做：以甲而言，甲若承認，最多三年監禁，如果乙也承認；如果乙否認，甲馬上獲得自由。這個結果并不壞。這是博弈，乙也會同樣這么想。如果甲改變主意，將冒監禁五年，而乙卻獲得自由；反之也一樣。如果雙方都改變主意，各監禁一年，也可以達到“共利”。
但是，這一決策的過程可能是無限的理性推理：假如我選擇“共利”策略，我必定相信對方也將選擇“共利”策略；假如我選擇“私利”策略，對方也會選擇“私利”策略予以防范。這個“推己及人，推人及己”的過程可以無限地推下去，他的極限狀態在博弈論里叫做“共享知識(Common Knowledge)”，但是沒有人可以達到這個狀態，囚犯也擺脫不了這個悖論。
4 由名實相悖引起的悖論
古代中國有不少經典的悖論都來自名家。名家是戰國時期的一個學派，他們的學說在于循名責實，但結果也往往被認為是流于詭辯。名家始于鄧析，后有惠施、公孫龍等大家。
在古希臘，亞里斯多德認為：辯證家與詭辯派穿著與哲學家相同的服裝，但不是一回事。對于詭辯術，智慧只是貌似而已，辯證家則將一切事物囊括于他們的辯證法中，而“實是”也是他們所共有的一個論題；因而辯證法也包含了原屬于哲學的這些主題。詭辯術和辯證法談論與哲學上同類的事物，但哲學畢竟異于辯證法者由于才調不同，哲學畢竟異于詭辯術者則由學術生活的目的不同。哲學在切求真知時，辯證法專務批評；至于詭辯術盡管貌似哲學，終非哲學(《形而上學》卷四章一)。
馮友蘭先生在《中國哲學簡史》第八章《名家》里有專門的討論。他認為，中國的“名家”不完全等同于西方的詭辯家、邏輯家或辯證家。如果說古希臘的辯證家和詭辯派專攻屬性而不是本質的話，那么名家則在于研究“名”與“實”的關系，而且重“名”甚于重“實”是他們的精神實質。這里的“名實”就是名目與實際。馮友蘭認為中國的名家應該翻譯為“School of Name”以示區別，我在《不列顛百科全書》上看到的正是這樣翻譯的。
名與實關系的爭論對中國哲學的影響巨大，如“孔子有正名、老子有無名、墨子有取實予名的爭辯”。除名家以為，荀子對古邏輯學的貢獻也很大。
公孫龍的辯論執名為實，“專決于名”而不落實到經驗的事物，看看他的雄辯，就會發現一些奇怪的問題。《莊子.秋水篇》提到，公孫龍曾經自夸：“困百家之知，窮眾口之辯”。
4.1 “白馬非馬”
戰國時趙國人公孫龍曾經著有《公孫龍子》一書，平原君禮遇甚厚。其“白馬非馬”和“堅白異同之辯”都是他的著名命題。
據說，公孫龍有一次騎馬過關，把關的人對他說：“法令規定馬不許過。”公孫龍回答說：“我騎的是白馬，白馬不是馬，這可是兩回事啊。”公孫龍的“白馬”有沒有過關，我們不得而知。從常人的觀點來看，守關的兵士八成認為公孫龍是在詭辯。這也是一個邏輯上“莫能與辯”，現實中不能成立的例子。
馮友蘭認為《公孫龍子》里的《白馬論》對“白馬非馬”進行了三點論證：
一是強調“馬”、“白”、“白馬”的內涵不同。“馬”的內涵是一種動物，“白”的內涵是一種顏色，“白馬”的內涵是一種動物加一種顏色。三者內涵各不相同，所以白馬非馬。
二是強調“馬”、“白馬”的外延的不同。“馬”的外延包括一切馬，不管其顏色的區別；“白馬”的外延只包括白馬，有顏色區別。外延不同，所以白馬非馬。
三是強調“馬”這個共相與“白馬”這個共相的不同。馬的共相，是一切馬的本質屬性，它不包涵顏色，僅只是“馬作為馬”。共性不同，“馬作為馬”與“白馬作為白馬”不同。所以白馬非馬。
前面我們說到，辯證法是在對付詭辯論的過程中發展起來的。黑格爾在《小邏輯》中說：“辯證法切不可與單純的詭辯相混淆。詭辯的本質在于孤立起來看事物，把本身片面的、抽象的規定，認為是可靠的。”(《邏輯學概念的進一步規定和部門劃分》)
從辯證法的角度看，“白馬非馬”割斷了個別和一般的關系。白馬屬于個性，特指白顏色的馬；馬屬于一般，具有各種顏色馬的共性。公孫龍區分了它們之間的差別，但是又絕對化了這種差別。白馬盡管顏色上不同于其他的馬，如公孫龍提到的黃馬、黑馬，但仍然是馬。作為共性的“馬”寓于作為個性的“白馬”之中。“馬”作為一般的范疇，包括各種顏色的馬，公孫龍的白馬自然也不例外。
4.2 “殺盜非殺人也”
這個命題與“白馬非馬”何其相似，盡管論證的方法和目的不同。荀子把墨辯“殺盜非殺人也”歸入“惑于用名以亂名”的詭辯。荀子認為，在外延方面“人”的范疇包含了“盜”的范疇。所以，說“盜”的時候，就意味著說他同時也是“人”；殺“盜”也是殺人。
4.3 堅白石論
堅白石論指一塊“堅白石”，它有堅、白、石三個要素組成。公孫龍主張“堅”為石頭的特性，“白”為石頭的顏色。眼睛看到的這塊石頭是白色的，手觸摸到的這塊石頭才知到它是堅硬的；白色由視覺而得，堅硬由觸覺而來，堅與白不能同時被認知。因此，公孫龍認為就一塊堅白石而言，人不可能同時認識到其中三個組成要素：堅、白、石，而只能是堅石或白石。
這是從感知的角度來證明堅、白彼此分離，是分析方法的早期運用。“離堅白之辯”是古代中國的一個著名命題，習慣上人們并不接受，但是對于名家自身來講，如果沒有精密的思考，也不可能提出這些深刻的問題。
盡管名家在邏輯上的辯論天下無敵手，但是遭到諸家反對。莊子說他們：“飾人之心，易人之意，能勝人之口，不能服人之心，辯者之囿也。”《荀子》也認為：“雖辯，君子不聽。”這的確是名家的吊詭。
中國古有名辯邏輯，唐代傳入印度因明，近代又引進了西方邏輯，成為世界三大邏輯的匯合點。黑格爾在《小邏輯》里說：“一說到詭辯我們總以為這只是一種歪曲正義和真理，從一種謬妄的觀點去表述事物的思想方式。但這并不是詭辯的直接的傾向。詭辯派原來的觀點不是別的，只是一種‘合理化論辯’的觀點。”這是針對古希臘人說的，對中國的名家來講，同樣適合。
4.4 怎么翻譯？
英語里有一個 Buchowski 悖論：“My younger brother is older than I am.”
單純地看這句話是一個悖論，實際上這個“我”有兩個哥哥。小哥哥(younger brother)自然比他的年齡大。但是younger brother在英語里又有“弟弟”的意思，硬譯過來，如果是：“我弟弟的年齡比我大。”為常識錯誤；如果是：“我的小哥哥的年齡比我大。”構不成悖論。
英語的brother與漢語里的“兄弟”并不完全對應。在這個例子里，漢語對“兄弟”作了進一步的劃分，減少了歧意。
5 由前提不自洽導致的悖論
這里我們將看到，前提不自洽，結論就無法自圓其說，甚至荒謬或沒有結論。
5.1 “羅素是教皇”
從單純的邏輯上來講，荒謬的假設可以推論出任何荒謬的結論，哪怕推理過程無懈可擊。有人曾經讓羅素證明從“2＋2 = 5”推出“羅素是教皇”。羅素證明如下：
由于2＋2 = 5，等式的兩邊同時減去2，
得出2 = 3；兩邊同時再減去1，
得出1 = 2；兩邊移位，
得出2 = 1。
教皇與羅素是兩個人，既然2 = 1，教皇和羅素就是1個人，所以“羅素就是教皇”。
這個荒謬的結論，就是由一個荒謬的假設引發出來的。
5.2 “亞里斯多德是類概念”
這是嚴格按照三段論推導出來的結果。請看：
(1)亞里斯多德是哲學家，
(2)哲學家是類概念，
(3)所以，亞里斯多德是類概念。
亞里斯多德(Aristotle，公元前384－前322)是希臘大哲學家和天文學家，曾就學于柏拉圖，繼承蘇格拉底以來的希臘哲學而自成體系，在西方的影響最大。他系統總結了三段論法原理，奠定了邏輯思維的基礎。
上面這個結論恐怕連亞里斯多德本人也不會認同。因為其中蘊含了一個“語義悖論”。因為語句(1)中的哲學家和語句(2)中的“哲學家”不在一個層次上，前者是對象概念，后者是元概念。兩個前提內涵不一致，結論就荒謬了。從根本上來講這不是一個語言或語法問題，而是一種邏輯錯誤。自塔爾斯基在30年代提出“語言層次論”來，就一直受到人們的關注。
5.3 自相矛盾
這個例子正相反，是一個因為前提不相容而推不出結論的經典例子。
《韓非子.勢難》介紹了這個預言：有一個同時賣矛和盾的人。他先夸他的盾最堅固，無論什么東西都戳不破；接著又夸他的矛最銳利，無論什么東西都能刺透。旁人問他：如果用他的矛來刺他的盾會有什么結果，他回答不上來，因為兩者相互抵觸。這是一個既不可以同時為真，也不可以同時為假的命題。前提出現矛盾，也就無法推出結論。
5.4 紙牌悖論
紙牌悖論就是紙牌的一面寫著：“紙牌反面的句子是對的。”而另一面卻寫著：“紙牌反面的句子是錯的。”這是由英國數學家Ｊourdain提出來的。我們同樣推不出結果來。它最簡單的形式是：
5.5 “悖論元”
下面這句話是對的，
上面這句話是錯的。
這也是一個有名的悖論，叫喬丹真值(Jourdain Truth-value)悖論。以上這三個例子基本屬于一個類型。
5.6 “先有雞，還是先有蛋？”
這個互為因果的循環推理本身無法自我解脫，需要實際的考證，如考古學和生物學的研究成果等，才能打破這一循環。
它里面也隱含著一個不相容的前提假設：“雞是由蛋孵化出來的，蛋又是由雞生出來的。”單獨來看都符合日常觀察，但合在一起卻是一對不自洽的假設。
5.7 “如果說上帝是萬能的，他能否創造一塊他舉不起來的大石頭？”
這是一個流傳很廣的悖論。如果說能，上帝遇到一塊“他舉不起來的大石頭”，說明他不是萬能；如果說不能，同樣說明他不是萬能。這是用結論來責難前提。
這個“全能者悖論”的另一種表達方法是：“全能的創造者可以創造出比他更了不起的事物嗎？”
5.8 “你會殺掉我”
這個故事有幾個版本。大意是說：一夥強盜抓住了一個商人，強盜頭目對商人說：“你說我會不會殺掉你，如果說對了，我就把你放了；如果說錯了，我就殺掉你。”商人一想，說：“你會殺掉我。”于是強盜把他放了。
推理一下：如果強盜把商人殺了，他的話無疑是對的，應該放人；如果放人，商人的話就是錯的，應該殺掉，又回到前面的推理，這是一個悖論。聰明的商人找到的答案使強盜的前提互不相容。
5.9 “你會吃掉我的孩子”
這個例子與上面的例子邏輯同構。
一條鱷魚搶走了一個小孩，它對孩子的母親說：“我會不會吃掉你的小孩？答對了，孩子還給你；答錯了，我就吃了他。”我們已經知道了母親的答案：“你會吃掉我的孩子。”
5.10 兩小兒辯日
這是《列子》里的一則預言：孔子遇到兩個小孩在爭論，一個說：“日出時，太陽距離我們近，中午距離我們遠。因為日出時太陽大得像車輪，中午小得像盤子。這不正是近大遠小嗎？”另一個卻說：“日出時，太陽距離我們遠，中午距離我們近。因為日出時我們不覺得熱，中午卻非常熱。這不是近熱遠涼嗎？”孔子不能答。
這是今天的一個科學常識問題，但兩千多年前的人并不知道。從邏輯上看，這里有“近大遠小”、“近熱遠涼”兩個測度的標準。在回答問題以前，應該搞清楚哪個標準更準確，或者都不準確。
5.11 愛瓦梯爾應不應該付學費？
傳說古希臘人愛瓦梯爾(Eulathlus)向普洛太哥拉斯學習辯術(另有一說是學習法律)。他們的約定是：愛瓦梯爾先付一半學費，另一半學費等學成后在第一場辯護勝訴時再付，如果敗訴，則學費不必再交。
但是愛瓦梯爾畢業以后，沒有擔任辯護工作，不打算交另一半學費。
普洛太哥拉斯準備告他，說：“如果我勝訴了，法官會判你付我學費；如果我敗訴，根據約定你還是要付我學費。總之要付。”。愛瓦梯爾則說：“如果我勝訴，法官也會判我不付學費；如果我敗訴，按照約定我也不必付另一半的學費。總之不付。”(見王九逵《邏輯與數學思維》)
這個問題反過來看，邏輯上也同樣成立。如果愛瓦梯爾先說：“如果你告我，我就可以不付學費了。”普洛太哥拉斯也可以用同樣的方式來反駁。如此爭論下去不可能有結果。
這里的問題就是他們雙方都默認“約定”和“判決”可以同時而且等效地來解決他們的糾紛，這是他們共同的前提。從邏輯上化解它們的辦法就是選擇其中的一個進行最終裁決。
5.12 梵學者的“預言”
和上面的例子完全類似，這是一個梵學者(印度的預言家)的女兒用悖論來為難她的父親的故事。
女兒在紙上寫了一行字壓在水晶球的下面。然后對父親說：紙上寫的可能發生，也可能不發生。如果你預言會發生就寫“是”，反之就寫“不”。
梵學者寫下他的預言“是”，女兒拿出水晶球下面的紙，念到：“你將寫一個‘不’字。”學者錯了。實際上，他寫個“不”字，也會錯，因為預言已經發生了。
女兒的“不”有兩重含義，它一方面與字面上的“是”相反，另一方面與實際上的“不”相反，雙重標準。由于沒有事先界定，梵學者也可以反過來和他的女兒作無限的爭論。
6 由權變遭遇的悖論
6.1 阿雷斯(Allais)悖論
下面兩個式代表你將獲得的收入，X是一個不定的量，你將選擇哪一個，S1還是S2？
(1)S1 = 0.9X + $100,000
(2)S2 = 0.89X + $250,000
顯然，最好的選擇取決于X是多少。
當X = $15,000,000 S1 = S2 = $13,600,000
當X > $15,000,000 S1 > S2
當X < $15,000,000 S1 < S2
這個悖論對決策理論有較大影響。
6.2 紐卡(Newcombs)悖論
這也是決策理論中的一個。有兩個盒子A和B放在桌子上：
A是透明的，可以看見里面有$1,000
B是不透明的，上面寫著或者是$1,000,000，或者是0。
你可以在下面的兩種選擇中，只能取一個(1)或(2)：
(1)只選擇B
(2)A和B兩個都選
你會作出什么選擇？
有一個教授曾經作過一個實驗：他讓1000個學生選，其中999個學生選擇了(1)，只有1個學生選擇了(2)。而這999個學生一人只獲得$1,000，而那1個學生卻獲得了$1,000,000。為什么呢？因為這個教授事先已經作了預測，并作出這樣的安排：
如果選(2)B盒子里就不放任何一分錢，
如果選擇(1)B盒子里就放$1,000,000。
而這個教授的預測只有千分之一的失誤。如果你已經知道了這個結果，重新再選，會選哪一項。注意，這一回，教授可能又作出了新的預測。
6.3 谷“堆”的定義
如果1粒谷子落地不能形成谷堆，2粒谷子落地不能形成谷堆，3粒谷子落地也不能形成谷堆，依此類推，無論多少粒谷子落地都不能形成谷堆。
從真實的前提出發，用可以接受的推理，但結論則是明顯錯誤的。它說明定義“堆”缺少明確的邊界。它不同于三段論式的多前提推理，在一個前提的連續積累中形成悖論。從沒有堆到有堆中間沒有一個明確的界限，解決它的辦法就是引進一個模糊的“類”。
這是連鎖(Sorites)悖論中的一個例子，歸功于古希臘人Eubulides，后來的懷疑論者不承認它是知識。“soros”在希臘語里就是“堆”的意思。最初是一個游戲：你可以把1粒谷子說成是堆嗎？不能；你可以把2粒谷子說成是堆嗎？不能；你可以把3粒谷子說成是堆嗎？不能。但是你遲早會承認一個谷堆的存在，你從哪里區分他們？
它的邏輯結構：1粒谷子不是堆，如果1粒谷子不是堆，那么，2粒谷子也不是堆；如果2粒谷子不是堆，那么，3粒谷子也不是堆；
……
如果99999粒谷子不是堆，那么，100000粒谷子也不是堆；
……
因此，100000粒谷子不是堆。
按照這個結構，無堆與有堆、貧與富、小與大、少與多都曾是古希臘人爭論的話題(見《不列顛百科全書》)。
6.4 禿頭的定義
這也是連鎖悖論中的一例，和上面的游戲完全一樣。最早叫Falakros謎：
你可以把只有1根頭發的叫禿頭嗎？能；你可以把只有2根頭發的叫禿頭嗎？能；你可以把只有3根頭發的叫禿頭嗎？也能。但是你不會把有一萬根頭發的人叫禿頭。你從哪里區分他們？
6.5 “一整袋谷子落地沒有響聲”
在古希臘，還流傳著這樣一個故事：如果1粒谷子落地沒有響聲，2粒谷子、3粒谷子落地也沒有響聲，類推下去，1整袋谷子落地也不會有響聲。
響聲是由振動引起的，1粒谷子落地可能引起的振動太小，人耳聽不到，但是用儀器卻可以測得出來。而一袋谷子落地引起的振動大，人耳自然就可以聽得到了。
應該注意，古希臘辯論家的用意不在于此，他們并不是真的要探討事實，而是試圖找到邏輯演繹與事實的差別。如果承認谷子落地從沒有響聲到有響聲是一個系列，那么其間也會有一個變化的模糊區域。
6.6 預料之外的絞刑時間
這個悖論在英語里叫“Paradox of the UnexpectedHanging”；最早從口頭傳開是在本世紀四十年代。
一個囚犯在星期六被判刑。法官宣布：“絞刑時間將在下一周七天中的某一天中午進行，但是具體哪一天行刑將在這一天的上午再通知你。”囚犯分析道：“我將不可能在下個星期六赴刑，這是最后一天。因為星期五下午我還活著，那么我知道星期六中午我一定被處死。但是，但是這和法官的判決有矛盾。”根據同樣的推理，他認為下一個星期五、星期四、星期三、星期二、星期一、星期日。因此，法官的判決將無法執行。
這種連鎖悖論式的推理并不難理解，法官的判決可以在下個星期六以外的任何一天被執行，囚犯的預期落空。還有一個“預料之外的考試時間悖論”和這個悖論的結構完全一致。
6.7 “卵有毛”
惠施曾經與一個辯者辯論過這個題目。辯者說雞蛋里面有毛，惠施卻反對。
辯者說：“如果雞蛋里沒毛，那么孵出來的小雞怎么身上有毛？”惠施說：“雞蛋里只有蛋清和蛋黃，沒有毛。你什么時候看見過雞蛋里面有毛了？小雞身上的毛是小雞身上的毛，不是雞蛋里的毛。”但是辯者不能接受。
辯論雙方都以“眼見為實”做標準，從而忽視了從沒有毛到有毛的轉化過程。不知道生物學對此會作出什么解釋，從方法上來講，他們沒有界定毛從無到有的界限，似乎都不接受“小雞身上的毛也可能是雞蛋里的毛”的模糊區域。
6.8 寶塔從有到無
這是哲學中從量變到質變的一個例子。一個寶塔，如果從下面抽走它的磚，一塊一塊地抽，這是量變。當到達一定的度時，寶塔倒塌了，發生了質變，說明寶塔沒有了。我們可以看到一準確的“度”。
但是現在從上面拿走它的磚，一塊一塊地抽，這也是量變。直到拿完，寶塔不存在了，發生了質變，但我們就不容易找到從量變到質變中間的一個準確的“度”了。
6.9 孿生子佯謬
這是一個與相對論有關的悖論(Twin Paradox)。
愛因斯坦的成就之一，就是引進了一個定律，用C表示恒定的真空光速，把它納入自然常數之列，作為不可達到的最高臨界速度。根據光速恒定，引出了相對論的兩個著名的“佯謬”，它們曾經被人嘲諷為相對論的“荒誕無稽”的結論。
“孿生兄弟佯謬”是指以快速運動為參考系的鐘，比靜止參考系中的鐘走得慢。根據這一結論，我們可以得出這樣的一個結果：一個乘飛船按接近光速的速度在太空旅行的人，當他返回地球的時候，就會比生活在地球上的孿生兄弟年輕。因為他的生物鐘，比留在地球上的人要慢。盡管目前的宇宙飛船還遠遠達不到接近光速的速度。
在1905年，愛因斯坦的狹義相對論確立以前，牛頓定律是速度遠遠小于光速條件下的定律，機械自然觀統馭著人們的空間想象，因此無法解釋這一現象。愛因斯坦關于時間相對論化的概念是嶄新的，它取締了牛頓“絕對時間”的概念，使“絕對運動”概念也失去了立足之地。
6.10 “會變的尺”
這是相對論引出的另一個“佯謬”：一把快速運動著的尺子，它和靜止狀態相比，在運動方向上長度縮短。這個問題是從邁刻爾遜實驗結果提出來的，后來形成了洛侖茲的機械收縮假說。愛因斯坦認為，這種收縮可以用兩個參考系之間存在著的相對速度來解釋(見聶運偉編著的《相對論的搖籃：愛因斯坦傳》)。
6.11 夜空為什么是暗的？
這是有名的奧伯斯(Olbers，Heinrich Willhelm)悖論：如果空間無限延展，而且星體均勻分布，我們的任何視線都應該碰到起碼一顆星球。那么，天空不是應該一直都是明亮的嗎？這個結論顯然與事實不符。
這個問題早在1610年開普勒就注意到，直到1823。
7 由超越理性觸及的悖論
圍繞宗教，如佛教、基督教和道教，都有一些非理性或超越理性的思考，而這類思考也往往涉及到悖論問題。
7.1 “知者不言，言者不知”
語言是表達意義的工具。中國古人卻很早就認識到了語言的缺憾。老子說：“道常無名。”孔子也認為：“書不盡言，言不盡意。”古書里也有“意不稱物，文不逮意”。但是老子的說法里存在著一個悖論。
老子的：“知者不言，言者不知。”是一條悖論，被白居易一語道穿。白居易在《讀老子》里說道：“言者不知知者默，此語吾聞于老君。若道老君是知者，緣何自著五千文？”
7.2 禪宗公案的悖論形式
所謂“公案”就是禪師開悟的故事或非邏輯的言行，“禪”是佛教靜思修行的方法。例如在禪宗里有一個“看話禪”，禪師以公案中的某些非邏輯、通常不可解的話語，讓弟子參究，以杜塞其思量分別，迫使他們的智慧迸發，得以見到自己的“心性”。當禪師啟發弟子開悟而提出悖解的問題時，弟子就要在考驗中過迷悟的“禪關”。而禪詩、禪語就是他們把禪悟的理解、感受用文字的形式表現出來。
成中英在《禪的詭論和邏輯》(《中華佛學學報》第三期，1990年4月)一文里認為，公案是詭論，也就是悖論。比照羅素悖論的一般形式：
如果P是真，那么P是假。
禪詭論擴展的一般形式就是：
如果P是Q，那么P不是Q。
盡管禪宗公案變化無常，依境而發，但其詭論根源都離不開這一反矛盾律的形式。鈴木大拙在《禪：答胡適博士》(Zen：A Reply to Dr．Hu Sih)一文中也說：“我們一般推論：A是A，因為A是A；A是A，所以A是A。禪同意或接受這種推論方式，但是，禪有它自己的方式，這種方式并不是一般可以接受的方式。禪會說：A是A，因為A不是A；或A是A，所以A是A。”語言是思維的載體，思維借助文字符號表達出來，因此語言的運用就反映了思維的邏輯。而禪宗公案往往并不遵循形式邏輯的基本規律：
同一律：A是A，B是B，等等；矛盾律，A不是非A，B不是非B，反之亦然；排中律，在A或B之間必居其一，沒有中立；充足理由律：A真，因為B真，并且B能推出A。
7.3 “見山不是山，見水不是水。”
這是唐代禪師青原惟信談到其對禪體驗的三個境界時說的：三十年前沒有參禪時，見山是山，見水是水。后來有個入處，見山不是山，見水不是水。而今得個歇處，依前見山只是山，見水只是水。
其中“見山不是山，見水不是水”是一種單一形式的悖論。在禪宗里這類例子不勝枚舉。如：“我是他，但他不是我。”(反矛盾律)“得即是失。”(反矛盾律)“既不是肯定也不是否定，二者都不對，你應該怎么說？”(反排中律)“勿言生，勿言無生。”(反排中律)它們背后的禪理是語言和邏輯所無法達到的，這就是“空”，一種修行的悟解。如果圍繞公案(悖論)、悟、空等基本概念，就可以對禪有一個基本的了解。
7.4 禪詩悖論二則
這是二首很有名的禪詩。一首是：
菩提本無樹，明鏡亦非臺；本來無一物，何處惹塵埃。
據說六祖慧能在讀到《金剛經》中“應無所住，而生其心”一句時，豁然感悟，寫下這首禪詩。其中表達了一個“空”的思想。慧能還提出過一些反排中律的命題，如“無方圓大小”、“無有頭尾”，認為諸如“方圓”、“大小”、“頭尾”的矛盾也是“空”的。另一首是：
空手把鋤頭，步行騎水牛；人在橋上走，橋流水不流。
這是南北朝時期的一位禪師善慧大士(傅翕)寫的一首禪詩，來表達他所體悟的與觀察相悖的禪理。楊惠南在《論禪宗公案中的矛盾與不可說》一文里稱這是一個“矛盾公案”。其中充滿了與事實相矛盾的語詞。
在語言世界里，公案不可回避地會遇到邏輯悖論。禪詭論對于那些還沒有證得禪悟的人來講是悖論，但是對于已經“開悟”的人來講，悖論也就不再是悖論，因為他們超越了理性，禪師運用起悖論來反而顯得自在坦然。
7.5 “瓶中取鵝”
某人在瓶子里養了一只鵝，從小就養，當鵝長大以后，而瓶口顯然小得不足以把鵝完好地取出來。如果既不希望將瓶子打破，也不想把鵝殺死，有什么辦法可以讓鵝出來？
這一悖論需要在對話中來完成。禪師的答案可以是趁那個人不注意時，叫他的名字，那人答應一聲：“干什么？”禪師說：“鵝已經出來了。”這種回答在邏輯上是反充足理由律的，但是對禪師來講則是超越了原來語意框架。在真如本體里，不相干的事物也相干起來。
7.6 答非所問
這里，問與答都沒有悖論，但是合起來就是悖論。選擇楊惠南文中的三個例子：
問：何為祖師西來意？
答：庭前柏樹子。
問：什么是曹溪一滴水？
答：那是趙河一滴水。
問：佛陀沈默時是什么意思？
答：樹中的鴿聲。
由于禪認為任何理性的思考都無法幫助人們獲得佛意義上的終極真理，因此不管是問與答，還是問答的總合，邏輯不連貫、語言反常規并不影響禪的宗旨。
7.7 “拈花微笑”
據說釋迦牟尼在一次法會上，手里拿著一支荷花，沒有人可以解，只有摩訶迦葉能契悟佛意，露出微笑，因此得到佛陀的付法。這是一個禪宗傳承的故事，開啟了禪宗以心傳心的法門。楊惠南認為這是一個“不可說”的公案。在釋迦拈花、迦葉微笑的默默無語當中，把佛的真意傳了出來，即“一笑拈花轉悟禪”。“教外別傳，不立文字，直指人心，見性成佛。”也許最能代表禪宗的立場。
公案無意關心某一具體陳述或問題，語言強化矛盾在于回答什么是“悟”，而“悟”本身并不需要任何形式的語言。佛教的終極存在，是一個用語言無法刻畫的“真如本體”。因此，“但有言說全無實義”。公案不過是禪宗踐行者在致力于“悟”的過程中產生出來的，它的內容是悖論，“悟”出的結果“空”也難以用通常的語言和邏輯來描述。
7.8 二律背反
所謂“二律背反”就是對同樣的問題提出兩個相反的判斷，盡管這兩個判斷作為結論正好相反，但邏輯上卻又都是成立的。1781年，德國哲學家康德(Immanuel Kant，公元1724－1804)發表了《純粹理性批判》，他在考察了宇宙時間是否有開端、空間是否有極限等問題以后，稱它們為純粹理性的“二律背反”。
在康德的那個時代，他發現兩種同樣令人信服的論據證明宇宙是有開端的正命題和沒有開端的反命題。他對正命題的論證是：如果宇宙沒有一個開端，則任何事件之前必有無限的時間。他認為這是荒謬的。他對反命題的論證是：如果宇宙有一開端，在它之前必有無限的時間，為何宇宙必須在某一特定的時刻開始呢？無法解答。
毫無疑問，在1929年哈勃觀測到宇宙正在膨脹，進而把宇宙起點的問題帶進科學王國以前，有關爭論實際上是一個形而上學或神學的問題。“大爆炸”理論揭示時間也是在大爆炸時才開始，而那以前的“時間”是沒有意義的，因為所有科學定律因失效而無法作出推測，修正了人們的看法。所以霍金講：大爆炸模型并沒有排斥造物主，但對他何時從事這一工作加上了時間限制(霍金《時間簡史：從大爆炸到黑洞》第一章)。
7.9 “萬能溶液”悖論
一位年輕人曾經雄心勃勃地告訴一位化學家要發明一種“萬能溶液”，它能夠溶解世界上所有的物質，而化學家反問道：“那你用什么容器來裝載這種溶液呢？”
也許這個年輕人應該首先發明一種無論如何也不會被溶解的容器，但“萬能溶液”又必須把它溶解，否則就不是“萬能”。年輕人陷入二難推理，而化學家的傾向性觀點就是發明這種溶液是不可能的。
7.10 “第二十二條軍規”
這是一條臭名昭著的軍規。它規定神經失常的飛行員可以停飛，但同時又規定申請停飛者必須頭腦清醒。試想，一個神經失常的人不能申請，必須飛行；而頭腦清醒者又怎么能證明他是神經失常？這純粹是一條欺騙性的悖論。
7.11 全能者悖論
語言絕對化往往伴隨著悖論。基督徒相信上帝是全能的，如果有人問：“如果上帝是全能的，他能不能創造一塊他舉不起來的石頭？”
從邏輯上解釋：如果上帝不能造出這樣一塊石頭，他不是全能；如果上帝可以造出這樣一塊石頭，但他舉不起來，他也不是全能的。因此，有一個簡單的結論：上帝不是全能的。如果上帝也不是全能的，那就沒有全能者。
但這個問題等于問：“什么都能做的上帝能否作一件他不能做的事情？”這是問題中的問題，既然說他是全能的，就沒有后面的問題；有后面的問題就說明他不是全能的。
“全能者悖論”是一個用結論來責難前提的例子，盡管推理過程無懈可擊，但是結論卻不為基督徒所接受。其中更重要的原因是存在著一個滿足超越理性的需求。根據《圣經》，上帝是一個“靈”，人們看不見摸不著，不在理性的范疇。按照康德的二元論，主觀與客觀平行而無法統一，人不可能按照自己的邏輯來理解這個“自在之物”。因此，只有信仰才能跨越這條鴻溝。那么，理性的“證明”或“反證”都可能為先設的結論服務，最終由超越理性的信或不信來決定。這是一種解釋。
7.12 有一個還是多個終極真理？
既然有人從邏輯上進行上帝不存在的“反證”，同樣也有人要在邏輯上從事上帝是存在的“證明”。宗教往往認為自己可以找到被科學、理性認為是極限、無限、無窮以外的終極真理。例如著名的第一因“論證”：如果對原因的原因無限地推演下去，必然可以找到一個初始因，而這個因就是上帝。
問題是一個地球，百種宗教。佛教追求的終極真理是“真如”、道教是“道”、伊斯蘭教是“真主”、古代中國人是“天”、印度人是“梵天”、希臘人是“本體”。從理論上來講，終極真理只有一個，但我們現有的答案卻不只一個。對終極的探討也許是人的本性，科學家也不例外，愛因斯坦贊嘆自然界精美的規律，稱它為“神”。顯然，此“神”非彼神。
7.13 手表類比
這是一個從有限的觀察歸納出無限以外結論的例子。手表類比的大意是：在野外拾到一塊手表，一定知道它是手表匠造的，那么比手表更精美的自然界，一定是神造的。這是英國哲學家佩利(Willian Paley，1743－1805)提出來的。
如何確定超出感覺經驗的理論是正確的？哲學家休謨認為：一切理論都建立在因果關系之上，憑這種關系，人們才能從經驗到的事實推出另一件并未經驗到的事實。他提到這個手表類比，說：在這里，我們總是假定：在現在的事實和推論之間，必定有一種聯系，如果沒有任何東西來結合它們，則那種推論就會成了完全任意的。
手表與手表匠之間存在著因果，這是不言而喻的。但是自然界與上帝之間是否也存在著因果？則是一件我們沒有經驗的事實。如果承認一果多因，那么手表類比就存在著一個未經證實的問題，我們至少知道自然界的存在有兩種原因可以解釋，一種來自于唯心主義的解釋，另一種則來自于唯物主義的解釋。
7.14 善惡悖論
這是中國文化里的一個古老難題。告子認為人性“不分善惡”，他證明道：“人性之無分于善不善也，猶水之無分于東西。”孟子則反駁道：“人性之善也，猶水之就下也，人無有不善，水無有不下。”證明“人性本善”。由于窺透不了人性，所以在解釋上必然帶有任意性。以水作比喻并不恰當，也不具有說服力，所以荀子輕而易舉地提出了“人性本惡”的思想。假設不同，主張自然各異。所以孟子尚德叫人知善、荀子勸學勸人學善、韓非子倡法以懲惡。
黑格爾說得好：“人們以為當他們說人性本善是說出了一種偉大的思想，但他們忘記了，當他們說人性本惡時，他們是說出了一種偉大得多的思想。”
《圣經》里講，自亞當、夏娃以降，人都有與生俱來的“原罪”，它是惡的根源。那么道德從那里來？康德認為：實際的道德從道德理念而來，歸根到底是從神那里來。“罪”的概念為基督徒所接受，但是卻不為非基督徒所認可。
7.14 “雞－蛋難題”的另類解答
如果把思維分為二類：一是理性思維，包括形式邏輯思維和辯證邏輯思維；二是非理性思維，即直覺非邏輯思維。康德認為有一個不可知的“自在之物”，理性只是反映了現象，而不能把握自在之物本身。理性本身存在著矛盾，康德認為理性有一定的局限性，有些問題理性不能解決。這無疑給超越理性的思考開了一扇大門。
從進化的角度看，“雞－蛋難題”在現實中并不成為悖論，只是我們還沒有找到它的答案。人們不過用它來說明思維中的一個邏輯反論。當擺脫不了這個思維中的一個糾纏時，有的可能走進去出不來，有的可能尋找另類答案。
“雞生蛋，蛋生雞”在理性思維里是一對無限因果的矛盾。但是在非理性思維里，“雞－蛋難題”也許根本就不是什么難題。佛教的可能答案是：“雞就是蛋，蛋就是雞。”因為它們都是“空”的；基督教的可能答案是：“神既創造了雞也創造了蛋。”因為神是最初因，而且“自有永有”。對比這兩種訴諸宗教的解答方法，就會發現它們是明顯矛盾的，不同的宗教可能有不同的答案，因為他們所持的信仰不同，而都認為自己找到了終極的方法和答案。
有這樣一種說法：科學解決不了的問題可以訴諸哲學，形式邏輯解決不了的問題，可以采用高一級的邏輯方法，如辯證法；而哲學解決不了的難題可以訴諸宗教，那里有最終的答案。這只是表面現象。科學探索是一個沒有止境的探索過程，不會認為自己可以一勞永逸地提出一個終極答案。如果科學一旦把“雞－蛋難題”也納入了自己的范疇，無疑會出現類似于“大爆炸”理論帶來的效應，各家紛紛作出有利于自己的調整。從這個意義上來講，科學的發言權往往是決定性的。
前面我們看到了七種類型的悖論。有的悖論可能被證明為我們難以從中解脫出來，例如克里特島人的“謊言者悖論”，其中的“自指”就是哥德爾不完全定理的中心一環。但是，隨著數學、科學研究的深入，很多過去認為是不可能解決的悖論，也可以找出解脫的辦法來。例如，芝諾的四個運動悖論，在現代數學里就基本上得到了和我們觀察相對應的解釋。
悖論是“自相矛盾的陳述”、是“特殊的邏輯命題”，其特殊性的共同點在于自相矛盾。根據這個寬泛的定義，“真悖論”的命題就是無法從邏輯的自相矛盾中解脫出來，如概念自指的悖論、前提不自洽的悖論；“假悖論”則是可以被解套的悖論，如科學中的“佯謬”。有的悖論是歷史形成的，即使被科學解套，依然可以稱為悖論。
因此，悖論本質上可以分為二種：一種是純粹的邏輯矛盾，如自我相關的無限循環；另一種就是邏輯自洽但與實際的觀察不合，如“阿基里斯悖論”、“白馬非馬”等。
科學體系必須邏輯自洽，而且可以較好地解釋自然現象，而悖論的提出和解決往往有助于推動科學的發展。
8 由科學發展揭示的悖論
8.1 一元錢到哪里去了？
三個學生住旅館，服務員收費30元。因此一個學生拿出了10元。但是后來經理說今天特價，一共只收25元。服務生退還了學生3元并拿了2元的小費。結果每個學生只出了9元，一共27元，加上服務員的2元，才29元(3×9＋2 = 29)，那剩下的1元到哪里去了？
也有人把故事改編成這種形式：約翰推銷他的舊電視30元給三位婦女，結果每個婦女拿出10元來。約翰發現他的電視只值25元，于是他拿出2元錢作運輸費，將其他3元錢退還給那三位婦女一人1元。結果仍然是3×9＋2 = 29，有1元錢不知去向。
這問題很容易蒙住粗心的人，但仔細一點就可看出名堂來。每個學生實際出了9元，一共27元，其中25元是住宿費，剩下2元被服務員拿走，應該做減法3×9－2 = 25。如果要做加法，則應該加上退還的3元，3×9＋3 = 30，不正是起初服務員收的30元嗎？因此根本不存在“一元錢到哪里去了”的問題。
這是一個悖論嗎？有人說不是，不過是在陳述上故意作了誤導。但美國的《科學美國人》編輯部曾經出版了一本書叫《從驚訝到思考：數學悖論奇景》，就收集了這個悖論。
8.2 希帕索斯之過？
早在2500年前，古希臘的畢達哥拉斯(公元前572－前497)學派雖然認識到了事物背后有數的法則，但是由于他們對數的崇拜和迷信，認為萬物中的數只有整數和整數之比，只有整數才可以描述宇宙間的各種關系。但是，當一個叫希帕索斯的學生發現：邊長為1的正方形，其對角線不可能用整數來表達，這就觸犯了這個學派的信條。而天真的希帕索斯向外人透露了他的發現，結果被扔到了海里而喪身。但是他的發現卻引起了數學思想的大革命，史稱“第一次數學危機”。
可見，有些“悖論”并不是真正的悖論，而是佯謬，只是人們一時還沒有找到解釋的方法或不愿意正視現實罷了。《華盛頓郵報》上曾經有一篇文章介紹到：德國物理學家倫琴(1845－1923)發現了一個似乎矛盾的現象，一些照像紙放在實驗室的防光袋子里，但是上面竟發生了螢光反應。雖然與知道的常識不合，他卻發現了一個看不見的、未知的原因：X光(X表示未知的意思)。盡管這不是一個經典的悖論，沒有導致兩個相互矛盾的結果，但是說明了一種在科學上對付悖論的辦法。同樣，很多科學悖論也往往指出了一個未知的X因素，需要人們去發現。由此，人們也可以從邏輯“死結”里解脫出來，拓展一種全新的概念。
羅素悖論曾經震撼了整個數學界，而同時期出現的數學悖論還有布拉里•福蒂悖論、康托爾最大基數悖論、理查德(Ｊ．Richard)悖論、培里(Perry)悖論和格瑞林(Kurt Grelling)悖論。直到哥德爾不完全定理，這些悖論的出現和解決方法的提出也極大地推動了數理邏輯的發展。
8.3 落體佯謬
二千多年前，亞里斯多德認為“物體自由下落的速度和物體的重量成正比”。因此，“物體越重，下落的速度就越快；越輕，物體下落的速度越慢。”這一觀察似乎接近日常生活的事實：除非在真空里，羽毛較石頭落下的速度緩慢。因此，亞里士多德的理論看起來正好與人們的經驗相符，所以兩千年沒有人懷疑過。但是，如果把它們綁在一起，下落得更快還是更慢？一方面，重量更大，應該落得更快；另一方面，快的物體也可能被慢的物體拖住，沒有單獨下落快。這兩個推論是相互矛盾的。
十六世紀，伽利略的推理對亞氏學說提出了挑戰。他的比薩斜塔實驗證明：一對同樣大小的木球和鉛球同時落地，使這個佯悖解套。自由下落的物體，下落的速度與它的質量沒有關系。它也是慣性定律、自由落體運動定律和廣義相對論的一個實驗基礎。
8.4 孿生子佯謬 (Twin Paradox)
愛因斯坦的成就之一，就是引進了一個定律E = m×c的平方。其中，c表示恒定的真空光速，被納入自然常數之列，作為不可達到的最高臨界速度。而光速恒定則引出了相對論的兩個著名“佯謬”，它們曾經被人嘲諷為相對論的“荒誕無稽”的結論。
根據相對論，在高速狀態下，時間就會相對應地減慢，當速度達到光速的99．6％時，時間就相對地減慢一半。“孿生兄弟佯謬”是指以快速運動為參考系的鐘，比靜止參考系中的鐘走得慢。根據這一結論，可以推測：一個乘飛船按接近光速的速度在太空旅行的人，當他返回地球的時候，就會比生活在地球上的孿生兄弟年輕。
假若有一對孿生兄弟，A35歲，B35歲。如果A乘駕太空船，以光速的99．6％熬游太空30年，當他返回地球時可能出現：
A：35歲＋30年 = 65歲
B：35歲＋60年 = 95歲
在1905年，愛因斯坦的狹義相對論確立以前，牛頓的機械自然觀統馭著人們的空間想象，因此無法解釋這一現象。而“時間相對論化”的確立，取締了牛頓“絕對時間”的概念，使“絕對運動”概念也失去了立足之地。
對于時間的不同變化節奏，在古代中國的傳說中也有。多少與道教有點關系，例如，兒童五言詩：“王子去求仙，丹成十九天。洞中方七日，世上已千年！”《醒世恒言》卷三十八里：李道人獨步云門：“一路想道：山中方七日，世上已千年。果然有這等異事！”這多半是古人的幻想。
8.5 “會變的尺”
這是相對論引出的另一個“佯謬”：一把快速運動著的尺子，它和靜止狀態相比，在運動方向上長度縮短。這個問題是從邁刻爾遜實驗結果提出來的，后來形成了洛侖茲的機械收縮假說。愛因斯坦認為，這種收縮可以用兩個參考系之間存在著的相對速度來解釋(見聶運偉編著的《相對論的搖籃：愛因斯坦傳》)。
8.6 理想測量的悖論
在宏觀世界里，一塊石頭自由落體準確可測，它按牛頓萬有引力或重力定律發生作用。但是在量子物理學里，落下的不是石頭，而是質量很小的電子，在微觀世界里就會出現“測不準”的現象。在量子力學里，許多基本粒子一直處于某種不確定的可變化狀態，打個比方，當你看到一塊“石頭”時，它是一塊“石頭”，這只是概率的一種；當你下次看到它時，它可能又是別的什么。德國物理學家海森伯(Werner Heisenberg，1901－1976)，1932年因提出測不準原理而獲得諾貝爾物理學獎。
如果說相對論給了機械論物理學一個沉重的打擊，那么量子力學的提出則標志著非機械論物理學的誕生。但是，愛因斯坦認為：量子力學是不完備的，一定有一個更好理論使物理學家對實驗結果作出確定的預期。他說：“在宇宙中，上帝是不擲骰子的。”量子力學認為在測量之前沒有什么是實在的，也無法預期。愛因斯坦質疑：“難道月亮只有在你看它的時候才存在？！”這涉及到一個量子力學的適用范圍問題。
8.7 薛定諤的貓(Schrodinger’s Cat)悖論
在日常觀察中，一只貓非死即活，必居其一。而薛定諤的“貓”放在箱子卻處于非死非活的疊加狀態。這是薛定諤提出來的一個具有挑戰性的難題。因為，按照量子力學的規則，箱子內的整個系統都處于兩種態的疊加狀態，這就是疊加原理(Superposition Principle)。
“薛定諤貓”的實質是：宏觀上是否存在量子般的疊加狀態？“貓”從生與死的疊加狀態過度到或生或死狀態的區分點在哪里？這些難題有待物理學家的進一步探討。
8.8 EPR佯謬
量子力學的另一個難題是“EPR佯謬”。它是1935年，由愛因斯坦(Einstein)、波多爾斯基(Podolsky)和羅森(Rosen)在一篇《能認為量子力學對物理世界的描述是完備的嗎？》的論文中提出來的。假設沿不同方向發射兩個粒子，那么無論它們相隔多遠，一旦測出其中一個，另外一個粒子的狀態也就立刻確定下來了。但是按照相對論，這是不可能的，這個佯謬預示：量子關聯現象表面上與相對論的因果關系是相矛盾的。
盡管量子力學已經廣泛為人們所接受，但愛因斯坦關于其完備性的質疑對量子力學后來的發展產生了巨大影響，深化了量子力學對基本問題的探討。
8.9 蝴蝶效應
如果說北京有一只蝴蝶振翅一揮，就會引起紐約的一場風暴；或者形成颶風，影響全世界。你會相信嗎？前后可以說是把風馬牛不相及的事情扯在了一起，但在理論上它是可能的。
美國氣象學家洛倫茲(Lorenz)正是受了一只振翅“蝴蝶”的啟發，其圖形是用方程組在計算機里模擬氣流的運動得出來的，開創了一門新的學科：混沌學(Chaos)。有人稱它為：“本世紀繼相對論和量子力學后的第三大科學發現。”1979年12月，洛倫茲在華盛頓的美國科學促進會上一語驚人：“一只蝴蝶在巴西扇動翅膀，有可能在美國的德克薩斯引起一場龍卷風。”“蝴蝶效應”說不脛而走。
它的科學與哲學魅力在于：長期行為對初始條件有敏感的依賴性。初始條件帶來微小變化的不斷放大，對未來將造成巨大影響。正如中國古書所載“失之毫厘，謬以千里”。蝴蝶效應會受到許多其它因素的干擾，“蝴蝶振翅”與“風暴來臨”絕不是簡單的直接因果，而可能是復雜的連續因果。
8.11夜空為什么是暗的？
這是有名的奧伯斯(Olbers，Heinrich Willhelm)悖論：如果空間無限延展，而且星體均勻分布，我們的任何視線都應該碰到起碼一顆星球。那么，天空不是應該一直都是明亮的嗎？這個結論顯然于事實不符。
這個問題早在1610年開普勒就注意到，直到1823年德國天文學家奧伯斯重新提出以后才廣泛引起關注。過去有很多的猜測，如宇宙只有有限的星體、星體的分布不是均勻的、星體越遠可視光越少，遙遠的光還沒有到達地球等等。“大爆炸”理論出現以后，宇宙的年齡不是無限的，被認為是一個最重要的原因。從“大爆炸”開始算起，宇宙距今有一百到兩百億年的歷史。年輕的宇宙還沒有時間將光充滿夜空(《星期日電訊》1997年10月5日)。
8.11 克隆羊年齡悖論
克隆羊多莉誕生以后，人們提出這樣一個有趣的科學和哲學問題：它的“生物年齡”和“出生年齡”可能不符。多莉的DNA取自一個六歲的老羊，多莉的出生年齡已有三歲，按DNA推測，它的生物年齡應該是九歲。換句話講，它既克隆了基因，也克隆了年齡。人們懷疑“多莉是穿著羔羊服裝的老羊”而衰老比正常羊的速度快。人們不禁要問，從一個五十歲的人那里克隆出來的克隆人可以生活多久？這個問題有待克隆技術的進一步發展和觀察實驗才能有進一步的答案。
8.12 中醫現代化悖論
二十世紀初以前，很少有人懷疑中醫的合理性。中醫要現代化，就要與現代科學接軌，但是如果用科學實證的方法來加以鑒別，就會發現中醫體系里既有科學的成份，又有非科學性的成份，兩者之間交織在一起，因果關系復雜，深入研究下去就會發現這是一個二律背反(張其成《中醫學的構建與發展──中醫現代化悖論》)。
而破解中醫現代化悖論的途徑就是既要繼承其科學的一面，又要拋棄其非科學的一面；既要發揚自身的長處，又要學習西醫的優點。在西方科學的沖擊下，“百年困惑”的中醫大體走過了從20年代末的“廢止舊醫”，50年代的“團結中西醫”，到今天中醫現代化的曲折過程。中醫現代化之時也就是悖論解套之時，同樣，這有賴于中醫的進一步研究與發展。
8.13 金帶與怪圈
《科學美國人》的撰稿人霍夫斯塔特在其《GEB：一條永恒的金帶》一書中，找到了一條貫穿哥德爾理論、埃舍爾的名畫和巴赫音樂的“金帶”，這就是思維中的“自指”，他稱之為“怪圈”。
凡是看過的人都知道，荷蘭藝術大師埃舍爾的作品常常源于悖論，尤其是以藝術形式展現的視覺怪圈。其藝術感染力讓人傾倒，其怪圈的魔力讓人震撼。
例如，在他的名畫《畫畫的雙手》里，左手在畫右手的同時，右手也在畫左手。那么到底是左手畫出了右手，還是右手畫出了左手？它表達了和柏拉圖－蘇格拉底悖論(即：后面這句話是錯的，前面這句話是對的)同樣的意境，兩者總是自相纏繞在一起。
在《瀑布》里，沿著埃舍爾的“流水”，水居然可以“從下往上流的”，與生活中的常識相違背；在《上升和下降》里，走進埃舍爾的殿堂，無論你如何分辨，都會覺得天衣無縫，但又與現實世界不可調和。
《相對性》，在埃舍爾的“臺階”上，無論你爬了多少級臺階，繞了一圈都會回到原來的位置；同樣，無論你下了多少級臺階，也會回到原來的地方。就像是在繆畢烏絲帶上運行，在有限中體現了無限的過程。
在埃舍爾的《畫廊》里，你已經站到了畫中的某一個位置；在《舉著反光球的手》中也表達了強烈的的自我相關。其《逆行卡農》也和巴赫《音樂的奉獻》中的片斷有異曲同工之效。
本文對悖論的劃分分為八種，如果從更廣泛的角度來看，還有文化悖論、歷史悖論(例如“漢武悖論”)、諺語中的悖論、音樂中的悖論、理論體系悖論、社會現象悖論，等等。我們就不在這里作一一探討。而真正的悖論將具有永久的魅力。
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