數學問題 發表於 1900 年巴黎國際數學年會前

數學問題
發表於 1900 年巴黎國際數學年會前
By Professor David Hilbert

我們之中有誰不希望揭開未來世界的帷幕，一窺下一世紀科學發展的奧秘? 下一代的數學思潮將追尋怎麼樣的特殊目標? 新世記中廣大豐富的數學領域又將發現什麼樣的新方法與結果?

歷史告訴我們科學發展的連續性．我們知道每個時代都有它自己的問題．未來中也有它自己的問題，或者將被解決，或在嘗試徒勞無功後被拋在一旁，並被新的問題所取代．如果我們想了解在不久未來數學智識的可能進展，我們就必須了解那些未解決的問題，那些是今日科學發展之所寄? 那些問題的解答是我們未來所期昐的? 因此在這世紀之初反省今日所遭遇的問題是非常適當的．這不僅使我們回顧過去的偉大時代，更指引我們邁向未知的將來．

某些問題的重要性在個別領域中扮演推進數學發展的廣大而重要的角色是不容否認的．當一學科分支能提供豐富的問題時，正代表了它的活力．而缺乏問題就預示了獨立發展的式微或停止．所以就像每個人都需要攝取食物一般，數學也需要它的養份．經由解決問題，研究者發現新的方法與觀點，並獲得更寬廣與自由的境界．

要預先判斷一個問題的價值是很困難甚至幾乎是不可能的，最終仍需視科學能從此問題獲得什麼而定．但是我們還是可以問是否有一個一般的準則能標示良好的數學問題．從前一位法國數學家曾說過：「一個數學理論不能被認為是完整的，除非，你能夠將這個理論對你在街上遇到的第一個人解釋清楚．」除了像一數學理論所要求的這般清晰與易於理解的特性，我對一優秀的數學問題還有更多的要求．因為清晰與易於理解雖然會吸引我們，但複雜度可能會把我們難倒．

數學問題的困難度應該要能誘使我們去研究它，而不是使我們完全無法克服，除非這個問題是用來捉弄我們的．它應該如同指針導引我們向通往真理的錯綄複雜道路，而且最終有一令人愉稅的正確解答．

過去幾世紀的數學家們習慣於將他們的熱情用於解決困難而特殊的問題上．他們了解困難問題的價值．我舉出 John Bernoulli 所提議的「最速下降曲線問題」的例子． 變分學(calculus of variations)起源於這個 Bernoulli 問題及其它相似的問題．

Fermat 宣稱這個著名的 diophantine 方程式

xn + yn = zn
(x, y 及 z 是整數)是不可解的--除了某些自明的例子．嘗試證明這個看似特殊且不重要問題的不可解性在科學上有令人鼓舞的價值，是一個驚人的例子．因為 Kummer 在研究 Fermat 問題的導引下，引入了理想數(ideal numbers)的概念，並發現在循環體數可分解為理想質因子(ideal prime factors)的唯一分解定律．這個定律在今天，經由 Dedekind 和 Kronecker 推廣到任意的代數體，已經成為現代數論的核心，且其重要性已遠超越數論的範圍，而進入代數及函數論的領域．

再談到另一完全不同的研究領域，我要舉出所謂的「三體問題」．由 Poincare 所引入天體力學的豐富方法及重要原則，今日已充分被認知與使用在應用天文學上．這是由於他從事於以全新方法處理這個難題並得到一近似解答．

最後提到的兩個問題，Fermat 問題及三體問題，在我們看來好像是兩個不同的極端．前者屬於特殊數論領域中的自由創作，而後者來自於天文學中了解自然基本規律的需求．

然而，同樣特殊的問題在看來完全不相干的數學分支中得到應用，是經常發生的事情．例如，最短直線問題在幾何基礎，曲線與表面理論，力學以及變分學中扮演歷史重要的角色． F. Klein 在他對二十面體的工作上揭示此問題的意義與基礎幾何的正多面體問題，群論，線性微分方程皆有關．

為了再強調某些問題的重要性，我還可指出 Weierstrass，說道在他科學生涯一開始發現如 Jacobi 反演問題在工作上所帶給他的快樂財富．

在說明了數學上問題的重要性之後，讓我們回來看看科學上問題來源於何處．顯然在每一數學分支中最初與最早的問題來自於外在世界的經驗．即使是簡單的整數計算規則也來自於人類文化的低層，就像今日的孩子從日常生活經驗中學習這些規則一般．幾何學最初的問題也不例外，它來自於古希臘，如倍立方，化圓為方等問題．同樣的，解方程式論，曲線理論，微積分，變分學，Fourier 級數理論與位勢理論，無數豐富的問題，最初分別來自於力學，天文學以及物理學等．

然而，隨著一數學分支的發展，受到成功解答的鼓舞，人們的心智逐漸關心它的獨立性．它本身獨立的發展，經常無需明顯的外界影響，而經由邏輯的連繫，一般化，特殊化，以各種方式分離並組合的概念，使得新而大量的問題出現．學科本身成為真正的發問者．質數問題及數論的其它問題，Galois 的方程式理論，代數不變量理論，Abel 自守函數理論(automorphic functions)等，的確，現代算術及函數論中大部份的優秀問題皆來源於此．

在此同時，儘管純粹創造的力量持續著，外在世界的影響再度介入，從真實經驗中向我們提出問題，開啟新的數學分支．在我們尋求克服新領域的思想智識時，我們經常得到古老懸而未決問題的解答，並成功地將古老的理論向前推進．數學家經常察覺到在許多分支中的問題，方法與念頭竟如此的類似與調和，在我看來，是源自於不斷重複發生的思想與經驗的相互作用．

還需要進一步討論數學問題解答的建構有什麼一般的需求．我首先指出這點：解答的正確性必須在有限個假設之內以有限個步驟完成，這些假設必須是問題的描述所蘊含的，而且必須明確的列出．如此經有限過程邏輯推導的需求是基於嚴格性的要求．的確，在數學上已經成為眾所周知的嚴格性要求，對應於我們認知的普遍哲學因果律；同時，在另一方面，唯有滿足此一要求思維內容以及問題的建設性才能發揮最佳效果．一個新的問題，特別是來自於外在經驗世界的問題，就像一個嫩枝，必須施以細心的移植，用我們已建立起的數學方法作為精確的園藝手段，才能茁壯並誕生甜美的果實．

認為嚴格的證明與簡單性相違背是完全錯誤的．相反的許多例子使我們相信嚴格的方法同時也是較簡單而且更易於理解的．為了達成嚴格性的努力迫使我們找出更簡單的方法．而且到達此途徑的方法往往比原來較不嚴格的方法更具有發展性．代數曲線理論經由較嚴格的函數理論性方法及一致地引入超越性方法而獲得大量地簡化，達到進一步統一．還有，證明冪級數允許使用四則基本運算和逐項微分與積分，以及經由此證明對冪級數效用的認知，實質地簡化了所有的分析，特別在消去理論及微分方程理論，及這些理論中的存在性證明．不過最驚人的例子是在變分學上．定積分的一階與二階變分的處理需要部分非常複雜的計算，而從前數學家使用的這些過程並無必要的嚴格性． Weierstrass 向我們展示了一個新而確實的變分學基礎．在我的演講結束前將向大家展示一簡單積分及雙重積分的例子，這個方法將如何立即導出令人驚訝的變分學簡化．因為在極大與極小值發生的充要條件展示中，二階變分的計算與部分一階變分連接可能都將能夠避免．

另一方面，在堅持證明之嚴格作為問題完美解答要求的同時，我反對認為只有分析的概念，甚至只有算術本身，才需要完整嚴格的處理．這種意見，經常被一些知名人士所提倡，我認為是完全錯誤的．如此對嚴格性要求的單方面解釋，將導致完全拒絕來自幾何，力學及物理的概念，停止外在世界流入的新要素，而最終的結果，將導致拒絕接受如連續統及無理數的概念．然而排除幾何以及數學物理之後，多麼一條重要的神經，數學的生命泉源，將被切斷! 相反地，我認為一個數學觀念，不論來自於幾何的知識，或來自於自然或物理科學，問題引起數學科學探索隱藏在其後的原理，並為其建立一簡單而完整的公理體系，這個新概念的精確性與其推導的應用性將不亞於舊有的算術概念．

新的概念必須對應於新的符號．我們選擇那些能使我們記起新概念形式的形象．因此幾何形體用記號或空間直覺的助記符號，且差不多為所有數學家所使用．誰不用雙重不等式 a > b > c 來表示三個點位於一直線上的幾何圖像"在…之間"? 在證明一個關於連續函數的困難定理，或密聚點集的存在性時，誰不畫一些相互包圍的線段與矩形? 誰能夠不用三角形，圓及其圓心，或是三條垂直的軸線? 誰會放棄向量場的表示，或在微分幾何，微分方程理論，變分學基礎及其餘純數中扮演重要角色的曲線或曲面及其包絡線的圖像?

算術符號以圖樣表示，幾何形體以記號公式表示．沒有數學家能免於使用這些，就像無法在計算中避免插入與移除括號或其餘分析符號一樣．

作為嚴格證明使用的幾何記號預先假定正確的知識與完整公理體系隱藏其中．同時為了將這些幾何圖像整合入一般的數學記號中，必須有一嚴格的公理探討其概念內涵．就像在相加兩數時，必須將每個數學安排在正確的位置．計算的規則也是一樣的．也就是說，算術的公理決定數學的正確使用法，而幾何記號的使用則決定於幾何的公理概念及其組合．

幾何與算術一致的地方也顯示在我們並不總是遵循一連串的算術公理推理，幾何的討論也一樣．相反地，我們使用，特別在第一次解一個題目時，快速的，無意識的，沒有絕對關連的，信任某些對於算術符號行為的直覺，這是我們可以在算術中避免的，就像幾何中的幾何想像．要舉一個在算術中嚴格的運用幾何概念與記號的例子，我提出 Minkowski 在 Die Geometrie der Zahlen 一書中的工作．

對於數學問題困難性的評論及克服這些問題的意義可以在此說明．

如果我們不能成功地解決一個數學問題，理由通常是因為我們未能認清由此問題所引申出一連串相關問題的一個更廣泛的觀點．如果我們能夠找出此觀點，不但我們對此問題的探索將更易於達成，而且同時我們也找到一方法能應用在相關的問題上．由 Cauchy 所引進的複變路線積分及 Kummer 所引入數論中的理想(IDEALS)的概念可以為例．這個尋找一般方法的手段應該是最可行且最明確的．因為如果在心中沒有確定問題的情況下尋找方法通常是徒勞無功的．

在處理數學問題時，我相信特殊化(specialization)將扮演較一般化(generalization)更為重要的角色．也許在大部份我們無功地尋找問題解答的情況，失敗的原因在於比這個問題更簡單且容易的問題仍沒有被完全地解出．這完全依賴於，找出更容易的問題，並以完美的手段及易於推廣的概念來解決．這個規則可能是克服數學困難最重要的手段，而且對我來說是幾乎總是在不知不覺的情況下使用．

經常地我們在不充分的假設與不正確的意義下尋找解答，而這也是不成功的原因．於是問題又來了：證明在所給定的假設或所考慮的意義下，原問題的不可解性．古人已經給過這種不可能性的證明，例如，證明等邊直角三角形的斜邊是無理數．後來的數學中，某些不可解性的問題扮演顯著的作用，我們發現許多古老而困難的問題，例如平行公理的證明，化圓為方，或五次以上方程式根式解的問題，最後都找到令人滿意的嚴格解答，雖然是出乎原本意料之外的．或許就是這些重要的事實及其他的哲學理由給了我們信念(每個數學家都相信，但沒有人能夠證明)，每一個確定的數學問題必有確定的解決之道，或者是以原問題的正確解答形式出現，或者經由證明其不可解性而說明所有的努力終將失敗．任何未解決的問題，例如 Euler-Mascheroni 常數 C 的無理性問題，或是無限個 2n+1 形式質數的存在性問題，儘管這些問題看似難以解決，儘管在這些問題之前我們顯得如此無助，然而，我們卻擁有堅定的信念，必可在有限的邏輯過程下得到這些問題的解答．

到底這種每一問題皆能解答的原理是數學思想獨有的一個特質，或者這是思考本質本有的一般性定律，所有的問題都是可回答的? 因為在其它的科學中同樣的也遇到古老的問題以證明其不可能性而獲得滿意且有用的解答．我以永久運動的問題為例．在徒勞無功地尋找建立永動機的方法之後，變成探討如果在永動機不存在的情況下自然力之間的關係究竟如何? 這個反面問題終於導致能量守恆定律的發現，而且最終又以此定律解釋了不可能存在原本尋求的永久運動．

這種對於每個數學問題都可解答的信念是對工作者強而有力的動機．我們聽到心中不停的呼喚：這裡有一個問題．尋找它的解答! 這僅基於一個單純的理由，因為在數學中沒有「未知域(ignorabimus)」．

數學問題的來源是無窮盡的，在一個問題被解決之後許多問題又將應運而生．請容許我接下來嘗試提出一些特定的問題，分別來自於不同的數學分支，期盼在此討論中能推進科學的進展．

首先讓我們將目光集中在分析與幾何的原理上．在我來看，上一世紀最具建設性與最值得注意的成就是，由 Cauchy，Bolzano 以及 Cantor 完成的連續統概念的算術形式化，以及由 Gauss，Bolyai 和 Lobachevsky 所發現的非歐幾何學．因此我先將大家的注意力放在這些領域中的某些問題上．
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最後修改日期: Jul 25, 1997 0:0