第5届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答 （1971年于保加利亚的索菲亚）

第5届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答
（1971年于保加利亚的索菲亚）

【题1】质量为m1和m2的物体挂在绳子的两端，绳子跨过双斜面顶部的滑轮，如图5.1。斜面质量为m，与水平面的夹角为a 1和a 2。整个系统初态静止。求放开后斜面的加速度和物体的加速度。斜面保持静止的条件是什么？摩擦可以忽略。
解：我们用a表示双斜面在惯性参照系中的加速度（正号表示向右的方向）。用a0表示物体相对斜面的加速度（正号表示左边物体m1下降）两个物体在惯性系中的加速度a1和a2可由矢量a和a0相加得到（如解 图5.1

图5.1）。用F表示绳子中的张力。
　　对沿斜面方向的分量应用牛顿第二定律。使物体m1加速下降的力是
m1gsina 1－F
在惯性系中，沿斜面方向的加速度分量为
a0－acosa 1
所以，对此斜面分量，牛顿第二定律为：　　　　　　　　　 解图5.1
m1（a0－acosa 1）＝m1gsina 1－F
同样，对于m2有
m2（a0－acosa 2）＝F－m2gsina 2
两式相加：（m1cosa 1＋m2cosa 2）a＝（m1＋m2）a0－（m1sina 1－m2sina 2）g　　　（1）
我们用动量守恒原理来研究斜面的运动。
　　斜面在惯性系中的速度为v（向右）。物体相对斜面的速度为v0。故斜面上两物体在惯性系中的速度的水平分量（向左）分别为：v0 cosa 1－v　　和　　v0 cosa 2－v
利用动量守恒原理：m1（v0 cosa 1－v）＋m2（v0 cosa 2－v）＝m v
对匀加速运动，速度与加速度成正比，因此有：m1（a0 cosa 1－a）＋m2（a0 cosa 2－a）＝m a
所以 　　　　　（2）
　　上式给出了有关加速度的信息。很明显，只有当两物体都静止，即两个物体平衡时，斜面才静止，这是动量守恒原理的自然结果。
　　由方程（1）和（2），可得到加速度为：
　　　　　　
　　　　　　
如果m1sina 1＝m2sina 2　　　即　　　
则两个加速度均为零。
【题2】在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆利装置。在水银柱上方有氢气，在圆筒内有空气。第一步，水银柱高度h1＝70cm，空气压强pk1＝1.314atm＝133.4kPa＝100cmHg，温度为00C＝273K。第二步，向上提升活塞，直至水银柱高度降为h2＝40cm，这时空气压强为pk2＝0.79atm＝80kPa＝60cmHg。第三步，保持体积不变，提高温度到T3，此时水银柱的高度为h3＝50cm。最后，第四步，温度为T4，水银柱的高度为h4＝45cm，空气压强没有改变。求出最后一步中氢气的温度和压强。
解：我们将空气和氢气的数据列成表。两者温度是相同的。玻璃管的长度用L表示。为了简单起见，我们以装有氢气的管子长度的厘米数来度量氢气的体积。压强全部用cmHg为单位给出（见解图5.2第一步至第四步）。

次　　数　　　 1　　　　　　　 2　　　　　　　 3　　　　　　　 4
氢气压强　　　ph1　　　　　　　ph2 ph3　　　　　　 ph4
氢气体积　　　V h1　　　　　　 V h2　　　　　　　V h3　　　　　　V h4
空气压强　　　100cmHg　　　　60cmHg pk3　　 ＝ 　　pk4
空气体积　　　V k1　　　　　　 V k2　　　＝　　　V k3　　　　　　V k4
两者温度　　　273K　　　　　　273K　　　　　　T3　　　　　　 T4
　　　　　　　　　　　　　　　　解图5.2
　　从第一步到第二步，对氢气应用玻意耳定律：（L－70）（100－70）＝（L－40）（60－40）
由此式求得玻璃管的长度L＝130cm，
因此，氢气在第一步至第四步中体积分别为：V h1＝60cm，V h2＝90cm，V h3＝80cm，V h4＝85cm
从第二步到第三步，氢气的状态方程为：
对空气应用盖吕萨克定律：
　　从第三步到第四步，我们只有向上提升活塞，以便使空气压强保持不变。氢气的状态方程为：
解以上方程组，得：pk3＝pk4＝80cmHg，　T3＝364K，　 T4＝451K，
所以氢气的压强为：ph3＝30cmHg　　　　 ph4＝35cmHg
算出空气的体积比为：V k1:V k2:V k4＝6:10:12.4
（注：cmHg为实用单位，应转换成国际单位Pa）

【题3】四个等值电阻R、四个C＝1mF的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连接起来，如图5.3所示。各电池的电压为U1＝4V，U2＝8V，U3＝12V，U4＝16V，它们的内电阻均可忽略。（a）求每个电容器的电压和电量，（b）若H点与B点短路，求电容器C2上的电量。
解：（a）将这个网络展开成平面图（如解图5.3.1）。由于电流不能通过电容器，所以只在图　　　　　　　图5.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解图5.3.1
中A-B-C-G-H-E-A回路的导线中有电流。在这个回路中，电压为12V，电阻为4R。
因此电流为：
于是就知道了电阻和电源两端的电压。设A点的电势为零，就能很容易地算出各点的电势。
A 0 V
B　　　(U4－U1)/4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3 V
C　　　(U4－U1)/2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6 V
G　　　(U4－U1)/2＋U1　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10 V
H　　　(U4－U1)/2＋U1＋(U4－U1)/4　　　　　　　　　　　　　13 V
E　　　(U4－U1)/2＋U1＋(U4－U1)/2　　　　　　　　　　　　　16 V
D　　　(U4－U1)/2＋U1＋(U4－U1)/4－U3　　　　　　　　　　　 1 V
F　　　(U4－U1)/4－U3＋U2　　　　　　　　　　　　　　　　 11 V
　　从每个电容器两端的电势差，可以算出其电量如下：
　　　　　　C1 （11－10）V＝1V，　　110-6C。
C2 （16－11）V＝5V，　　510-6C。
C3 （6－1）V＝5V，　　 510-6C。

C4 （1－0）V＝1V，　　 110-6C。
我们可以算出各电容器的储能量CU 2/2。电容器C1和C4各有0.510-6 J，电容器C2和C3各有12.510-6 J。
（b）H点与B点连接，我们得到两个分电路。如解图5.3.2。在下方的分电路中，电流为 ，E点相对A点的电势是U4＝16 V，H点与B点的电势是U4／2＝8 V。F点的电

势为 ＝16 V
于是，电容器C2两极板的电势均为16 V，结果C2上无电量。　　解图5.3.2

【题4】在直立的平面镜前放置一个半径为R的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心距离镜面3R，缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸。一条小鱼在离镜面最近处以速度v沿缸壁游动。求观察者看到的鱼的两个像的相对速度。水的折射率为 。如图5.4（a），5.4（b）
解：鱼在1秒钟内

游过的距离为v。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图5.4（a）
我们把这个距离当作物，而必须求出两个不同的像。在计算中，我们只考虑近轴光线和小角度，并将角度的正弦用角度本身　　　　　　　　　　　　　　图5.4（b）
去近似。
　　在T1点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像，如图5.4（a）所示。从T1点以角度r＝∠A T1O发出的光线，在A点水中的入射角为r，在空气中的折射角为n r。把出射光线向相反方向延长，给出虚像的位置在K1，显然∠K1A T1＝n r－r＝（n－1）r
从三角形K1 T1 A，有：
利用通常的近似：K1A≈K1O＋R，　　K1AT1≈K1O－R
于是
所以这个虚像与球心的距离为
水的折射率 ，从而K1O＝2R。若折射率大于2，则像是实像。有像距与物距之商得到放大率为
对水来说，放大率为2。
　　以与速度v相应的线段为物，它位于在E处的平面镜前的距离为2R处，它在镜后2R远的T2处形成一个与物同样大小的虚像。T2离球心的距离为5R。在一般情形下，我们假设T2O＝kR。T2处的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的（虚）物。因此，我们只要确定T2的实像而无需再去考虑平面镜。如图5.4（b）所示。
我们需要求出以r角度从T2发出的光线在C点的入射角β，其中r＝∠CT2F。

在三角形T2OC中， 　　　β＝k r
玻璃中的折射角为：
需要算出∠DOB。　因为：∠COF＝β－r＝k r－r＝r（k－1）
而且∠COD与C点和D点的两角之和相加，或与∠COF和∠DOB之和相加，两种情况都等于1800，因此
即
从三角形DOK2，有
此外 ，
因此像距为：
若k＝5，n＝ ，得
放大率为
若k＝5，n＝ ，则放大率为
综合以上结果，如鱼以速度v向上运动，则鱼的虚像以速度２v向上运动，而鱼的实像以速度 v向下运动。两个像的相对速度为２v＋ v＝ v，
是原有速度的 倍。
我们还必须解决的最重要的问题是：从理论上已经知道了像是如何运动的，但是观察者在做此实验时，他将看到什么现象呢？
两个像的速度与鱼的真实速度值，从水中的标尺上的读数来看，是一致的，实际上观察到两个反向的速度，其中一个是另一个的三倍，一个像是另一个像的三倍。我们应当在远处看，因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像。两个像的距离8.33R。用肉眼看实像是可能的，只要我们在比明视距离远得多的地方注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者”，是指他观察从两个不同距离的像射来光线的角度变化。只要观察者足够远，尽管有距离差，但所看到的速度将逐渐增加而接近 。他当然必须具有关于鱼的实际速度（v）的一些信息。

两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为：
用一个充满水的圆柱形玻璃缸，一面镜子和一支杆，这个实验很容易做到。沿玻璃缸壁运动的杆代表一条鱼。
【实验题】测量作为电流函数的给定电源的有用功率。确定电源的内阻Rb和电动势U0。画出作为外电阻R函数的有用功率，总功率以及效率h的曲线。
解答：端电压为
电流为
总功率为P0＝U0I
有用功率为：P＝U I
效率为η＝
利用以上公式，得到要求的六个函数，如解图5.4（a）――（f）所示。

　　　　　　　　　P＝U0I－RbI2　　　　　　　　　　P＝

P0＝U0I P0＝

＝1－ h ＝
　　测出适当选择的两个值，由以上公式便可求出Rb和U0。这些数据应该是独立于外负载，所以这样的测量并不可靠，大负载时尤其如此。