3-3 數學期望值 重點整理

3-3 數學期望值
重點整理
事件的數學期望值（簡稱期望值）：設某事件成功之機率為 ，若該事件成功即可得到 元，則 元稱為此事件的數學期望值。
試驗的數學期望值（簡稱期望值）：設一試驗的樣本空間為Ｓ， 為樣本空間Ｓ的一個分割，且設 事件發生的機率為 ， 。若事件 發生，可得 元，則 稱為此試驗數學期望值，簡稱期望值。
期望值有平均價值的概念。

重要例題：
例1. 統一發票共八碼，每期開出一個特獎號碼，五個頭獎號碼。與特獎號碼完全相同可得2000000元，與頭獎任一號碼相同，可得200000元，與頭獎末7碼相同可得40000元(貳獎)，與頭獎末6碼同可得10000元(參獎)，與頭獎末5碼同可得4000元(肆獎)，與頭獎末4碼同可得1000元，與頭獎末三碼同可得200元。則一張統一發票的平均價值為多少？(期望值)







例2. 投擲一粒公正的骰子一次，例3. 若出現 點則可得 元，例4. 求其期望值。
例5. 投擲二粒公正的骰子，例6. (1)若出現點數和為 ，例7. 則可得 元，例8. 則其期望值為 ；(2)若出現點數差為 ，例9. 則可得 元，例10. 則其期望值為 。











類1. 投擲十粒公正的骰子，若出現點數和為 ，則可得 元，則其期望值為 。
類2. 袋中有大小相同的紙牌10張，分別寫3張100元，2張50元，5張10元，任取一張，則獎金的期望值為多少？







類3. 設袋中有1號球1個，2號球2個．．． 號球 個，自袋中任取一球，若取得號球 可得 元，則其期望值為 。


Ans: 1.35，2.45，3. 。

例11. 投擲四顆骰子有如下的獎金，例12. 則期望值為 。

出現 四骰同點 恰三骰同點 兩兩同點
獎金 200元 100元 50元




類1. 設袋中有10元、5元硬幣各3枚，自袋中任取2枚，則期望值為 。
類2. 同時擲10個公正的硬幣，若有 個硬幣出現正面，可得 元，則(1)恰得32元之機率為 ；(2)期望值為 。
類3. 一人擲三個公正的硬幣一次，若出現 個正面，則可得 元( )，若不出現正面則輸15元，求其期望值。




Ans: 1. 15，2. (1) ,(2) ，3. 。

一袋子中有12個球，其中有4個白球，例13. (1)從中一次取出3球，(2)每次取一球，取後放回，連取三次，(3)每次取一球，取後不放回，連取三次，求白球個數的期望值。





類1. 三人同解數學題，解出之機率分別為 ，今三人合解48題，則解對題數的期望值為 。
類2. 一箱子內有9個燈泡，其中有4個是壞的，從中取出3個，求壞燈泡個數的期望值。
類3. 一袋中有3紅4白球，每次從中取出一球，取後不放回，取到紅球取完為止，求所取次數的期望值。






類4. 從1,2,3,4,5中取出三相異數相加，求所得和的期望值？



Ans: 1. 46，2. ，3. 6，4. 9。

例14. 將例15. 5個球任意分配到三個不同例16. 的箱子中，例17. 求空箱的期望值。




類1. 將3個球投入3個不同的袋子中，每次投一球，連續投3次，則(1)每個袋子都有球的機率為？(2)3個球都在同一個袋子的機率為？(3)空袋子個數的期望值為？
類2. 依據經驗，某人完成一件工作，可能是1天、2天、3天、4天，在1天完成的機會是0.2，2天完成的機會是0.4，3天完成的機會是0.3，4天完成的機會是0.1，求完成此工作天數的期望值。




ans: 1.(1) ,(2) ,(3) 。
某次考試中，例18. (1)單一選擇題每題有五個選項，答對得五分，若希望五個選項用猜的得分的數學期望值為0，則答錯應倒扣幾分？(2)複選題，每題五個選項，至少有一個選項是正確的，完全答對給六分，若希望隨機猜題的得分期望值為0，則答錯應到倒扣幾分？
Ans:(1) 1.25,(2)0.2。






類1. 一遊戲機，投10元玩一次，若中獎則得100元，若希望讓玩家每玩10次，商家則得50元，則商家在機器的設定上應讓玩家贏的機率為 。
類2. 擲三個均勻的硬幣，若規定出現3正面可得12元，2正面可得8元，一正面可得4元，為了公平起見，出現三反面應賠 。





Ans: 1. ，2.48。

例19. 甲乙二人桌球比賽，例20. 規定先勝3場者為贏，例21. 敗者應付給贏者100元，例22. 已知兩人獲勝機率均等，例23. 於甲勝2場、乙勝1場時，例24. 因故終止比賽，例25. 則乙應付給甲 元才合理。







類1. 1654年在法國有甲乙兩人棋藝相等，約定比賽，先勝三場者可得賭金64披索(金幣名)，開始比賽甲先勝一次後，有要事停止比賽，對賭金難於分配，於是請教當時有名的數學家巴斯卡。這些賭金應如何分配？
類2. 設一年間一家失火的機率為 ，鄰家失火而被波及的機率為 ，且各家同時失火的機率為0。若投保期間一年100萬元的火險時，住在相鄰二家中之一家的人應至少繳多少錢才合理。
類3. 某保險公司銷售一年期的人壽保險給一位59歲的先生，保額100000，保費520元，根據統計，59歲男人活到60歲的機率為0.997，求保險公司的期望利潤？
類4. 設擲某銅板出現正面的機率為 ， 。連續擲此銅板4次，若第 次出現正面則得 ，否則得0， 1、2、3、4。設總所得的期望值為 ，總所得超過 的機率為 ，則 (A) 為 之一次多項式 (B) (C) 為 之二次多項式 (D) (E) 。







Ans: 1. 甲44,乙20，2. ，3. 220，4. ADE。

例26. 某人擲兩粒骰子，若擲出之點數和為7點時，可得100元，並得繼續投擲的權利，否則就停止，求此人所得的期望值。






類1. 某人射箭，每回射中紅心的機率為 ，(1)若欲使命中紅心的機率達 ，至少需幾發？(2)若規定射中一次紅心可得 1000元，且可繼續發射直到沒有射中為止，求獲利的期望值？
類2. 一袋中有6個黑球、3白球，今自袋中取出一球，若取出的球為白球，則停止取球，若取出黑球，則將球放回袋中，再從袋中取出一球，如此進行，直到取得白球為止。求取球次數的期望值。










Ans: 1.(1)6,(2)500，2. 3。





























預備題目：

類2. 設擲某銅板出現正面的機率為 ， 。連續擲此銅板4次，若第 次出現正面則得 ，否則得0， 1、2、3、4。設總所得的期望值為 ，總所得超過 的機率為 ，則 (A) 為 之一次多項式 (B) (C) 為 之二次多項式 (D) (E) 。
類2. 設擲某銅板出現正面的機率為 ， 。連續擲此銅板4次，若第 次出現正面則得 ，否則得0， 1、2、3、4。設總所得的期望值為 ，總所得超過 的機率為 ，則 (A) 為 之一次多項式 (B) (C) 為 之二次多項式 (D) (E) 。
類2. 設一袋中裝有1個1號球，2個2號球 個 號球 25個25號球， 。現自袋中任取一球，設每一個球被取到的機會都相等，而取得 號球可得 元，則取到19號球的機率為 ，而任取一球的期望值為 元。(80.社)
例27. 甲乙二人輪流投擲二粒公正骰子，例28. 約定先擲得點數和為7者可得110元，例29. 若由甲先擲，例30. 則甲乙兩人的期望值各為多少？







類1. 甲乙丙三人輪流投擲二粒公正骰子，約定先擲得點數和為6者可得110元，若由甲先擲，則甲乙丙三人的期望值各為多少？
類2. 甲出資60元，乙出資40元，甲先乙後輪流擲一骰子，先擲出6點的可獲此100元，何者較有利？
Ans: 1.