第三章 機率與統計
３-１ 樣本空間與事件
３-２ 機率的性質
機率：機率 。
機率的性質：
P(A) P(A) 1。
P(A B) P(A) P(B) – P(A B)。
P(A B C)
P(A) P(B) P(C) – [P(A B) P(A C) P(B C)] P(A B C)。
甲、乙二人玩剪刀、石頭、布的猜拳遊戲，試求：
其樣本空間U及n(U) 不分勝負的事件。
解：令(a, b)表a是甲出的拳，b是乙出的拳，則
U {(剪刀,剪刀) , (剪刀,石頭) , (剪刀,布) , (石頭,剪刀) , (石頭,石頭) ,
(石頭,布) , (布,剪刀) , (布,石頭) , (布,布)}，
n(U) 9。
不分勝負的事件為{(剪刀,剪刀) , (石頭,石頭) , (布,布)}。
甲、乙兩人各擲一均勻骰子，約定如下：乙得6點時乙就贏；兩人同點時（非6點），甲贏；其餘情形，則以點數多者為贏。則甲贏的機率為______。 【87自】
解：令樣本空間U {(a, b) | a是甲擲出的點數，b是乙擲出的點數}，
則n(U) 6 6 36，其中，甲贏的情形有：
(6, 1) , (6, 2) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5) , (5, 1) , (5, 2) , (5, 3) , (5, 4) , (5, 5) ,
(4, 1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) , (3, 1) , (3, 2) , (3, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (1, 1) ,
共有5 5 4 3 2 1 20種甲贏的機率為 。
一副撲克牌52張，拿走J, Q, K花色大牌12張，剩下40張（1點到10點）四種花樣各10張，設機會均等，今從40張中任取5張，求下列機率：
同點數兩張，另外同點數3張，其機率為 。
5張點數和為8的機率為 。
解：從40張中取出5張的方法共有 種，而從40張中取出兩張同點數的方法
有10 種，再取出另外3張同點數的方法有9 ，由乘法原理得共有
10 9 2160種，故所求的機率為 。
5張點數和為8的有下列情形：
(1, 1, 1, 1, 4)有 4種；(1, 1, 1, 2, 3)有 64種；
(1, 1, 2, 2, 2)有 24種；共有4 64 24 92種，故所求的機率為 。
將5個數字1, 2, 3, 4, 5全取排成一列作成一個五位數，則此五位數
能被2整除的機率是______ 能被3整除的機率是______
能被4整除的機率是______ 能被15整除的機率是______
大於45000的機率是______。
解：能被2整除個位數字是偶數，故能被2整除的有2 4!個，
所以 為所求。
能被3整除數字和是3的倍數，
因1 2 3 4 5 15是3的倍數，故所求之機率為 1。
能被4整除的有：□□□12，□□□24，□□□32，□□□52，
故共有4 3!個，所以 為所求。
能被15整除的有：□□□□5：4!個，所以 為所求。
大於45000的有：5□□□□：4! 24個，45□□□：3! 6個，
故所求之機率為 。
有5個指定席及知道自己位置番號的5個人，今這5個人任意地坐此5個指定席，則：5個人都坐在自己的位置的機率為______。
5個人中恰有3人坐在自己位置的機率為______。
5個人中恰有2人坐在自己位置的機率為______。
5個人中恰有1人坐在自己位置的機率為______。
5個人都不坐在自己位置的機率為______。
解：5個人分別坐在5個坐位的方法有5!，
5個人分別坐在自己位置有1種方法，故所求的機率為 。
5個人中恰有3人坐在自己位置的方法有 種，故所求的機率為 。
5個人中恰有2人坐在自己位置的方法有
(3! 2! 1! 0!) 20種，故所求機率為 。
5個人中恰有1人坐在自己位置的方法有
(4! 3! 2! 1! 0!) 45種，
故所求機率為 。
5個人都不坐在自己位置的方法有
5! 4! 3! 2! 1! 0! 44種，
故所求機率為 。
設A, B為二事件，且P(A) 0.5，P(B) 0.8，P(A B) 0.4，試求
P(A B) P(A ) p( )。
解：P(A B) P(A) P(B) – P(A B) 0.5 0.8 – 0.4 0.9。
P(A ) P(A) – P(A B) 0.5 – 0.4 0.1。
p( ) P( ) 1 – P(A B) 1 – 0.9 0.1。
設A, B為互斥事件，且知P(A) 0.2，P(B) 0.3，則 ？
A, B為互斥事件，P( B) 0.3，P( ) 0.5，則P(A) ？ P(B) ？
解：因A, B是互斥事件，所以P(A B) 0。
1 – P(A B) 1，
1 – P(A B) 1 – P(A) – P(B) P(A B)
1 – 0.2 – 0.3 0 0.5，
故 1.5。
因A, B是互斥事件，所以A B ，所以P( B) P(B)，故P(B) 0.3，
1 – P(A B) 1 – P(A) – P(B) P(A B)
1 – P(A) – 0.3 0 0.7 – P(A)，
故P(A) 0.7 – 0.5 0.2。
某一工廠生產燈泡，12個裝成一盒。工廠品質檢驗的方法是從每盒中任取4個來檢查，如有兩個或兩個以上的燈泡是壞的，則整盒淘汰。若某一盒有5個壞燈泡，則這一盒會被淘汰的機率是 (A) (B) (C) (D) (E) 。
【82社】
解：這一盒不被淘汰取出4個都是好燈泡 取出的是3好1壞的燈泡，
因此不被淘汰的燈泡有 210種，
故這一盒會被淘汰的機率為1 。
擲一均勻骰子三次，設三次中至少出現一次6點的事件為A，三次中至少出現一次5點的事件為B，則A, B至少有一事件發生的機率為______。
解：n(A) n(B) 63 – 53 91，
A B中(5, 6,□)有4 3! 24個，(5, 5, 6) , (6, 6, 5)有2 6個，
所以n(A B) 24 6 30。
故所求機率為P(A B) P(A) P(B) – P(A B) 。
擲一骰子，若點數出現的機率與點數成比例，求出現的點數是偶數的機率。
解：因點數出現的機率與點數成比例，故假設出現1點的機率為p，
則出現2點、3點、4點、5點、6點的機率依次為2p, 3p, 4p, 5p, 6p，
但p 2p 3p 4p 5p 6p 1，所以p ，
而出現偶數2, 4, 6的事件為互斥事件，
故出現偶數的機率為 。
精 選 類 題
投擲一顆均勻的六面骰子（即1, 2, 3, 4, 5, 6點出現的機會相等）五次，則恰出現一次1點，二次偶數點的機率為______。 【85夜社】 答：
提示：(1,偶,偶,奇,奇)有1 3 3 2 2 23 33 5 所求： 。
設P1表示丟2個公正硬幣時，恰好出現1個正面的機率，P2表示擲2個均勻骰子，恰好出現1個偶數點的機率，P3表示丟4個公正硬幣時，恰好出現2個正面的機率。試問下列選項何者為真？
(A) P1 P2 P3 (B) P1 P2 P3 (C) P1 P3 P2
(D) P1 P3 P2 (E) P3 P2 P1。 【89推甄】 答：(B)
提示：P1 , P2 , P3 。
同時擲三粒骰子，點數和為15的機率為______。 答：
一次擲兩個公正骰子，則出現最大點數為4之機率為______。 答：
同時擲出三粒均勻骰子一次，設A表出現點數和為12點的事件，B表至少有一粒4點之事件，C表恰有一粒為1點之事件，則：
P(A) ？ P(B) ？ P(C) ？ 答：
擲三個公正的骰子一次，試求：
三個點數均相異的機率 三個點數的積是5的倍數的機率
三個點數成等差的機率。 答：
從一副52張的撲克牌中抽出兩張，已知每張被抽出之機會均等，
求兩張字碼不同的機率？
求兩張字碼不同但花色相同的機率？ 答：
從一副撲克牌52張中任取5張，
恰成富而毫斯(Full house)(即同點數的二張，另外同點數的三張)之機率為______
恰成兩對(Two pairs,如AA33K)之機率為______。 答：
提示： 。
袋中有七個相同的球，分別標示1號、2號、……、7號。若自袋中隨機取出四個球（取出後不再放回），則取出之球上的標號和為奇數的機率為______。
【86社】 答：
某班有50位同學，其中男生有30位，女生20位。某次導師要抽5位同學留下打掃環境，依性別按人數比例作分層抽樣，則班上的男同學張志明被抽中的機率是______。 【89社】 答：
提示：因為男生：女生 3 : 2，故抽出的5位同學是3個男生，2個女生，而張志明被抽中的情形共有 種，故所求之機率為 。
一盒中有10個球，球上印有號碼1到10；今由盒中取4球，則4球之號碼中第二大數目是7的機率為______。 【84社】 答：
提示： 。
已知編號1, 2,……, 10的十盞路燈中，有三盞是故障的，則編號4與編號5都是故障的機率為______。 【85社】 答：
提示： 。
從記有1至9之號碼之9張卡片當中任意取出2張，試求：
二個數目差為偶數的機率為______。
二個數目之積為偶數的機率為______。 答：
自1, 2, 3, 4,……, 18, 19等19個數中，任意取相異三點，則
此三數的和為3的倍數的機率為______。
此三數能構成“等差數列”的機率為______。
此三數能構成“等比數列”的機率為______。 答：
六封寫好的信，任意放入六個寫好收信人及地址的信封內，且一封信僅放入一信封內，則恰有二封信放對信封之機率為______。 答：
四對夫婦共舞，以抽籤方式決定舞伴，結果每一夫皆不以其妻為舞伴的機率為______。 答：
甲、乙、丙、丁、戊、己等六人交換禮物，每人各提供一件禮物集中放在一起，然後再抽籤決定每人應得的禮物。若每人提供之禮物均不相同，求恰有一人抽到自己提供之禮物的機率。 答：
A, B, C, D, E, F六人的名片各一張混在一起，再隨意發給此6人，每人一張，則：
恰有2人得到自己名片之機率為______。
每人皆不得到自己名片之機率為______。 答：
設事件A發生的機率為 ，事件B發生的機率為 。若以p表事件A或事件B發生的機率，則p值的範圍為何？
(A) p (B) p (C) p (D) p (E) p 。
【87推甄】 答：(D)
提示：p P(A B) P(A) P(B) – P(A B) P(A B)，
且0 P(A B) （因P(A B) P(A)且P(A B) P(B)） p 。
設A, B為二事件，且P(A B) ，P(A) ，P(A B) ，則：
P(B) ______ P(A – B) ______。 答：
提示：P(B) P(A B) P(A B) – P(A) 。
P(A – B) P(A) – P(A B) 。
設A, B為互斥事件，若P(A) 0.2，P(B) 0.4，則
P( ) ______，P(A ) ______。 答：0.8；0.2
投擲一骰子，若點數出現的機率和該點數成正比，又設A {x | x是偶數}，
B {x | x是質數，C {x | x是奇數}，則：
P(A B) ______ 出現是偶數或質數之機率為______。 答：
提示：P(A) , P(B) ,
所以P(A B) P(A) P(B) – P(A B) 。
一袋中，有紅球2個，白球4個，青球5個。今從袋中任意取出3球，則
取出之3個球中，至少有2個是青球的機率是______。
取出之3個球是同色球的機率是______。 答：
設A, B為二事件，若P(A B) 0.8，P(A B) 0.2，P(A ) 0.4，試求P(A)與P(B)。 答：0.6；0.4
投擲一骰子，假設點數出現的機率與該點數成比例。若P(n)表示出現n點的機率，A表出現奇數點的事件，B表出現質數點的事件，則
P(3) ______ P(A B) ______ P(A – B) ______。
答：
擲一均勻骰子三次，設三次中至少出現一次3點的事件為A，三次中至少出現一次5點的事件為B，試求：
P(A B) ______ P(A B) ______。 答：
丟一粒均勻骰子3次，設出現之點數依次為x, y, z，
求滿足x y z 6的機率。 求滿足(x – y)(y – z) 0的機率。
求滿足x y z的機率。 答：
袋中有三個白球（編號1~3），五個紅球（編號1~5），六個黑球（編號1~6），今由袋中取出兩球，若機會均等，求下列各情形的機率：
同色______ 同號______ 不同色不同號______。
答：
３-３ 期望值
如果做一實驗有k種可能結果，各種結果的報酬分別為m1 , m2 , … , mk，而得到這些報酬的機率分別為P1 , P2 , … , Pk（其中P1 P2 … Pk 1），則此實驗的期望值為
m m1P1 m2P2 … mkPk。
擲一均勻硬幣三次，若每出現一個正面得5元，一個反面賠2元，則所得總額之期望值為______元。 【85推甄】
解：擲硬幣3次：
其期望值為 4.5 (元)。
袋子裡有3個球，2個球上標1元，1個球上標5元。從袋中任取2個球，即可得到兩個球所標錢數的總和，則此玩法所得錢數的期望值是____元。 【88推甄】
解：因
故其期望值為 (元)。
某市為了籌措經費而發行彩券。該市決定每張彩券的售價為10元；且每發行一百萬張彩券，即附有臺百萬元獎1張，拾萬元獎9張，臺萬元獎90張，壹仟元獎900張。假設某次彩券共發行參百萬張。試問當你購買一張彩券時，你預期會損失______元。 【88社】
解：
購買一張彩券的期望值為
3.7 (元)
因為一張彩券的售價為10元，故會損失10 – 3.7 6.3 (元)。
設一袋中裝有1個1號球，2個2號球，…，n個n號球，…，25個25號球，
1 n 25。現自袋中任取一球，設每一個球被取到的機會都相等，而取得n號球可得(100 – n)元。則取到19號球的機率為_____，而任取一球的期望值為_____元。 【80社】
解：袋中共有1 2 3 4 … 25 (25 26) 325個球，
今從袋中取出一球，因19號球有19個，故取到19號球的機率為 。
任取一球的期望值為
99 98 97 … 75
83 (元)。
根據統計，台灣地區的青年從18歲活到19歲的機率為0.996，今一位18歲的青年向某保險公司投保為期一年的壽險，保險額為1萬元，保險費是100元，求保險公司獲利的期望值。
解：若此人活到19歲，則保險公司賺了100元，其機率為0.996；
若死了，則保險公司要虧9900元，其機率為0.004；
故公司獲利的期望值為100 0.996 – 9900 0.004 60 (元)。
數人賭博，其中一人做莊，不作莊的先交給莊家3元，得到擲1個公正銅板1次的權利，規定：擲得正面時，莊家賠5元；擲得反面時，莊家不賠。
不作莊的人的期望值是______，故此種玩法______。（填公平、不公平）
若要玩法公平，當得反面時，莊家應賠______元。
解：E 5 0 2.5 3 故不公平。
設得反面時，賠x元，則5 x 3，
所以x 1，即得反面時，莊家應賠1元。
精 選 類 題
同時擲2粒均勻的骰子，試求其點數和的期望值。 答：7
袋中有7個球，其中3個是紅球。今自袋中任取4球，則取得“紅球個數”的期望值為______。 答：
提示： 。
將1到5的各數字分別記在5張卡片上，在A, B兩箱各放入一組5張卡片，試求從A, B箱各取一張卡片時，二數和的期望值。 答：6
提示： 6。
擲3個硬幣，出現3正面可得12元，2正面可得8元，一正面可得4元，為了公平起見，出現三反面時應賠多少元？ 答：48元
一次投擲三個均勻銅板，若出現三個正面，可得8元，二個正面，可得3元，一正面可得1元，為使此遊戲公平，當不出現正面，應付______元。 答：20
假設一個高二學生再活一年的機率為0.9999。某高二學生一學年繳平安保險費60元，若在此學年內不幸意外死亡，由保險公司付給家長20萬元，則此保險公司的期望利潤為______元。 答：40
依照已往經驗，在台灣的25歲年青人，活到26歲的機率為0.992，若某一保險公司出售一年10000元的壽險給25歲年青人，只需繳保險費10元，試求該公司可獲得期望利潤若干？ 答：70元
袋中有1號籤1支，2號籤2支，3號籤3支，…，n號籤n支，今任抽一支，若抽得r號籤可得r元，問由袋中任抽一支之期望值為多少元？ 答： 元
提示：袋中共有1 2 3 … n 支籤，
故其期望值為1 2 … n … (元)。
袋中有n號球1個，(n – 1)號球2個，(n – 2)號球3個，…，2號球(n – 1)個，1號球n個，在機會均等的情況下由袋中任取一球，若取得k號球可得k元，求其期望值。 答： 元
提示： 。
設袋中有1號球70個，2號球69個，…，70號球1個。今自袋中任取一球，若取得r號球，可得(71 – r)元，則得錢之期望值為______元。 答：47
３-４ 統計抽樣
３-５ 次數分配表
抽樣調查：如何選取一種好的取樣方法是統計上很重要的工作，常用的抽樣方法有
簡單隨機抽樣法、系統抽樣法、部落抽樣法、分層抽樣法等等。
試解釋下列名詞：母體（母群體） 樣本 抽樣。
解：母體：研究的所有對象所成的集合稱為母體。
樣本：從母體中抽出的部分分子所成的集合，就是樣本。
抽樣：從母體中抽出部分分子做調查，這種方式就稱為抽樣。
某班50位同學依照座號列出身高如下： 單位：公分
利用隨機號碼表的第9，10兩行，由第一列開始找出五位
同學的身高，並求其平均值為______。
解：自第9，10行選出的二位數為27 , 04 , 17 , (73) , (57) , (93) , (75) , 22 , 15
我們選出之五位同學，其座號及身高如下表：
其平均值為 154 (公分)。
某班有57位學生，將每一位學生編一號碼，由1至57止，要抽測五位同學，按系統抽樣法，可以利用隨機號碼表將多出的2位捨去；也可以由1至57隨機抽出一個號碼，若為45，則被抽中的五位學生號碼是______。
解：57 11 5 2 k 11
將1至57號排成一環形如右圖，
從45號起，每隔11位選一個號碼，
即45 , 56 , 10 , 21 , 32為所求。
某年級數學科成績統計如右：
如右表分三層，用分層隨機抽樣得到十個成績為54 , 47 , 58 ,
76 , 62 , 72 , 70 , 82 , 85 , 91，則該年級平均成績為______。
解：
N N1 N2 N3 150 200 150 500
86， 70， 53，
∴該年級平均成績為
y 69.7。
本班30位學生數學成績如下：
依號碼1～10，11～20，21～30分成三組，以21～30的平均成績代表本班的數學成績，其平均分數為______，又此法為______抽樣。
解： [100 50 40 30 20 80 90 90 80 60] 64 (分)。
部落抽樣。
二年一班50位同學在某次的數學測驗成績如下：
64 73 43 61 58 81 94 74 54 76 88 91 38 49 52 63 78
77 87 73 52 66 71 63 74 56 82 84 77 39 72 57 68 70
80 60 90 86 63 50 61 79 47 51 63 76 79 81 89 75
試作其次數分配表，及累積次數分配表，並說明製作過程。
試將次數分配表以直方圖表之。
試作出次數折線圖與相對次數折線圖。
試作出累積次數分配曲線圖及相對累積次數分配曲線。
解：決定組數：將全部資料分為12組。
決定組距：因為 ≒4.7，所以取組距為5。
決定組界：因為最小一組的下界 38，所以我們定最小一組的下界為35，
上界為40。
歸類畫記：在歸類畫記時，我們採用“每組不含上界的規定”。
計算次數：算出各組的畫記數，並填入表中，而完成了下列的次數分配表。
組別 畫記 次數 以下累積次數 以上累積次數
35～40 || 2 2 50
40～45 | 1 3 48
45～50 || 2 5 47
50～55 5 10 45
55～60 ||| 3 13 40
60～65 ||| 8 21 37
65～70 || 2 23 29
70～75 || 7 30 27
75～80 ||| 8 38 20
80～85 5 43 12
85～90 |||| 4 47 7
90～95 ||| 3 50 3
計 50
其直方圖為：
因為
組別 次數 相對次數(%) 以下相對累積次數(%) 以上相對累積次數(%)
35～40 2 4 4 100
40～45 1 2 6 96
45～50 2 4 10 94
50～55 5 10 20 90
55～60 3 6 26 80
60～65 8 16 42 74
65～70 2 4 46 58
70～75 7 14 60 54
75～80 8 16 76 40
80～85 5 10 86 24
85～90 4 8 94 14
90～95 3 6 100 6
計 50
故得次數折線圖與相對次數折線圖為：
次數
右圖為二年甲班學生體重的相對累積次數分配折
線圖，已知各組中人數最少的一組有2人，求：
人數最多的一組有多少人？
體重在50公斤以上（包含50公斤）者占全班
人數的百分之多少？
解：人數最多的一組是55～60，其相對次數為95% 65% 30%，
而人數最少的一組是60～65，其相對次數為100% 95% 5%，
又人數最少的一組是2人，故人數最多的一組是2人 12人。
體重在50公斤以上的人數占全班的百分比為100% 45% 55%。
精 選 類 題
抽樣調查常用的方法有四：(A)簡單隨機抽樣 (B)系統抽樣 (C)分層隨機抽樣 (D)部落抽樣，下列各問題，分別使用那一種抽樣較適合？
家長會提供10分獎品給本校1500位師生。
建國新村一萬戶自來瓦斯用戶，基於經濟原則，欲調查每月瓦斯平均用量。
高速公路巡邏警員想估計駕駛員不帶駕照比率。
調查某連鎖商店每月的平均銷售貨量。
某眷區的住戶分布在社區內三條巷道的兩邊，想要了解社區全部住戶七、八月
分的平均水費。
一個水果商想估計某大果園內的橘子個數。今已知果園分成100區，每區內橘
子數的棵數大致相同，且在同區內每一棵樹長的橘子之個數大略相等，但各區
間則相差很大。 答：(A) (D) (B) (C) (D) (C)
我們知道抽樣調查的常用方法有 (A)簡單隨機抽樣 (B)系統抽樣 (C)分層隨機抽樣 (D)部落抽樣等四種。
抽查燈泡的耐用時間。
抽查市民的所得情形。
基於經濟原則，調查小學生患寄生蟲的狀況。
調查工廠某生產線的品質管制是否良好。
某公寓住宅社區的住戶分住於三棟公寓，想要瞭解社區內全部住戶四月份的平
均電費。 答：(A) (C) (A) (B) (D)
以下抽樣方法何者較為適當？ (A)簡單隨機抽樣用於大量的樣本 (B)系統抽樣用於週期性母群體 (C)分層抽樣用於層內個體間的性質差異愈大愈好 (D)部落抽樣用於和部落間差異愈小愈好。 答：(D)
右表是某班學生數學成績的相對次數分配表：
右表“相對次數”欄由上而下分別為______。
不及格者占全班的______%，共有______人。
50～80分者占全班的______%，共有______人。
80分以上者占全班的______%，共有______人。
作其相對次數分配直方圖。
作其相對次數分配折線圖。
作出相對累積次數分配表。
作其相對累積次數分配折線圖。
答：5 , 12.5 , 20 , 30 , 22.5 , 10 , 100 17.5；7 62.5；25 32.5；13
某班數學抽考成績如下：
80 70 70 55 85 45 75 60 95 80 75 65 75 30 95 95 80 90 86 80 90 40 75 25 60
70 80 65 60 66 57 73 62 52 73 65 84 73 55 80 66 42 48 63 84 68 70 60 50 70
試將全班成績分成8組，組距10，試作：
成績次數分配表 累積次數分配表 累積次數曲線圖。
答：
下圖所示為某公司應徵人員身高的相對累積次數分配折線圖，若初選的條件
為身高165公分～180公分，則初選合格的百分比為______%。
承，設應徵人員有250人，問身高在170公分以上而不滿175公分的人數共
有______人。
承，哪一組的人數最多？ 答：70 50 165～170
圖 圖
上圖為某班全體學生體重的相對次數分配折線圖，則體重不滿50公斤者所占之百分比為______%。 答：65
３-６ 平均數
３-７ 離差
未分組資料：
算術平均數( )：
設n個數值分為x1 , x2 , … , xn，則其算術平均數為 (x1 x2 … xn)。
中位數(Me)：
n個數值x1 , x2 , … , xn，按其大小順序排列為x(1) x(2) x(3) … x(n)。
若n 2k 1，即n為奇數，則第k 1個數值為中位數，因此
Me x(k 1) 。
若n 2k，即n為偶數，則中間兩數x(k)與x(k 1)均位置居中，因此一般以此
兩數值的算術平均數為中位數，即
Me (x(k) x(k 1))。
幾何平均數(G.M.)：
一組正數資料x1 , x2 , … , xn的幾何平均數（簡寫成G.M.）是定義為
G.M. 。
眾數(Mo)：
一組資料中出現次數最多的數，稱為眾數。
例如：
2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10的眾數是9。
2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7的眾數是4和7。
3, 5, 8, 11, 15, 17，則沒有眾數。
全距(R)：
全距R (數值資料中之最大數) – (數值資料中之最小數)。
四分位差(Q.D.)：
將n個數值資料由小而大依序排列，先求中位數Me，再依此求第1四分位數Q1，
第3個分位數Q3，則四分位差Q.D. (Q3 – Q1)。
變異數( )與標準差(S)：
變異數：（又稱樣本變異數）
設有一組抽樣資料x1 , x2 , … , xn，則其變異數（或稱樣本變異數）簡寫成 ，
定義為 。
標準差：（又稱樣本標準差）
標準差（或稱樣本標準差）簡寫成S，定義成S 。
◎由未分組資料求標準差：
設n個抽樣資料為x1 , x2 , x3 , … , xn，設 表x1 , x2 , … , xn之算術平均數
∵ ……
……
∴由、知S 。
母體變異數( )與母體標準差( )：
離差：
設有一組資料x1 , x2 , … , xn平均數為 ，則當第i筆資料x1的離差定義為
。
平均絕對離差：
一組資料x1 , … , xn的平均絕對離差(MAD)是資料(xi)與平均數( )差距絕對值
的平均，即MAD 。
母體變異數：
設一母體有N個資料x1 , x2 , … , xn，則此組資料的母體變異數（寫成 ）
是所有資料的平方離差之平均，即 ，其中 為母
體平均數。
母體標準差：
設一母體有N個資料x1 , x2 , … , xn，則此組資料的母體標準差（寫成）
是母體變異數 的開方，即 。
已分組資料：
算術平均數( )：
如果統計資料數量很多，則必須先將資料分組，然後再求分組資料的平均數。
計算已分組資料的算術平均數時，係將各組的代表值（組中點）乘以其各自出
現的次數，各項乘積相加求得總和後，再除以總次數。
即，若
則 (f1x1 f2x2 … fkxk) 。
中位數(Me)：
將n個數值資料分組整理，得一次數分配表：
組 別 次數f 以下累積次數C
L1 ~ U1 f1 C1 f1
Li1 ~ Ui1 fi1 Ci1 f1 f2 … fi1
Li ~ Ui fi Ci f1 f2 … fi1 fi
Lk ~ Uk fk Ck n
總 計 n
若Ci1 Ci，則中位數Me必落在第i組的下限Li與上限Ui內。
因 ，故得Me Li (Ui – Li)；
同理可求得Me Ui (Ui – Li)。
幾何平均數(G.M.)：
在n個數值資料中，經分組整理得一次數分配，第i組組中點x1有fi個數值，
則這n個數值資料的幾何平均數相當於G.M. ，
式中f1 f2 … fk n為總次數。
眾數(Mo)：
相對次數分配折線圖中，縱坐標最大的那一組即是眾數所在的組。
全距(R)：
全距R (最大一組的上限) – (最小一組的下限)。
四分位差(Q.D.)：
在分組資料中，一般以第 項為Q1，第 項為Q3來估計。
Qk的求法與中位數的求法相同
其中 表示Qk所在組的下限， 表示組中點小於 之各組次數之總和，
表示Qk所在組的次數， 表示Qk所在組的組距，
得四分位差Q.D. (Q3 – Q1)。
變異數( )與標準差(S)：
◎由已分組資料求標準差：將n個數值資料分成k組，設各組內的資料密集於組
中點x1或均勻的散布在組距內，第i組的次數為fi，則此n個資料之標準差S
的求法如下：
由題意知，算術平均數 ，且 。
《普通法》
……
……
由、知S 。
《已分組簡捷法求標準差》
。
線性關係：
四分位差(Q.D.)：
一群資料x的n個數值x1 , x2 , … , xn的四分位差Q.D. ，則資料Y的n個數
值ax1 b , ax2 b , … , axn b的四分位差Q.D. | a | 。
標準差(S)：
設X表示一群數值資料，SX表X的標準差，bX a表示X數值的b倍另加a
的一群資料，則恆有下列關係：
若SX 0，則X中的各數必全部相等。
S(X a) SX，其意義是將一群資料平移後，其標準差不變。
S(bX) | b | SX，其意義是將一群資料增加或減為原來的| b |倍後，其標準差為
原標準差之| b |倍。
S(bX a) | b | SX，其意義是將一群資料增加或減為原來的| b |倍後，再平移，
其標準差為原標準差之| b |倍。
94位選手參加某次高爾夫球比賽成績（桿數）如下：
試求平均成績______ 中位數______ 眾數______ 全距______
標準差______。
解： (65 1 66 2 67 4 68 8 69 16 70 32 71 16 72 8
73 4 74 2 75 1) 70。
∵ 47， 1 48，又1 2 4 8 16 31，
∴第47, 48位的桿數為70, 70 ∴Me (70 70) 70。
Mo 70。
R 75 – 65 10。
∵ (5)2 1 (4)2 2 (3)2 4 (2)2 8 (1)2 16
02 32 12 16 22 8 32 4 42 2 52 1 282。
∴標準差S ≒1.74。
某次競試100人參加，考試結果其成績如下：
求下列各值：
平均數為______ 中位數為______ 標準差（以四捨五入，取至小數點後第一位） 若以下累積次數分配曲線圖上有一點(60, a)，求a ______。
解： 組別 組中點
xi 次數
fi 以下累積
次數Ci A = 65
xi A
20～30 25 3 3 40 4 12 48
30～40 35 6 9 30 3 18 54
40～50 45 10 19 20 2 20 40
50～60 55 16 35 10 1 16 16
60～70 35 30 65 0 0 0 0
70～80 75 21 86 10 1 21 21
總計 17 235
65 (17) 65 – 1.7 63.3。
∵ 50 ∴ Me 65。
∵
∴S 10 10
≒ ≒15.3。
由上表得a 35。
有n個數值x1 , x2 , x3 , … , xn的算術平均數為40，中位數為45，眾數為42，全距為50，四分位差為6，標準差為3，求3x1 2 , 3x2 2 , … , 3xn 2的：
算術平均數______ 中位數______ 眾數______ 全距______
四分位差______ 標準差______。
解：令yi 3xi 2， 2 3 40 2 118。
Me (3x 2) 3Me(x) 2 3 45 2 135 2 133。
Mo (3x 2) 3Mo(x) 2 3 42 2 126 2 124。
R (3x 2) 3R(x) 3 50 150。
Q.D. (3x 2) 3Q.D.(x) 3 6 18。
S (3x 2) 3S(x) 3 3 9。
精 選 類 題
有一組資料的次數分配表如下，則：
算術平均數為______ 標準差為______四分位差為______。
答：7 2.45 4
高三某班的第二次段考國文成績次數分配表如下，試求下列各值：
算術平均數 ______ 標準差S ______。 答：76.52 13.33
測量一物件的長度9次，得其長（公尺）為2.43 , 2.46 , 2.41 , 2.45 , 2.44 , 2.48 , 2.46 , 2.47 , 2.45，將上面的數據每一個都乘以100，再減去240得一組新數據為3 , 6 , 1 , 5 , 4 , 8 , 6 , 7 , 5，問下列選項何者為真？
(A)新數據的算術平均數為5 (B)新數據的標準差為2
(C)原數據的算術平均數為2.45 (D)原數據的標準差為0.2
(E)原數據的中位數為2.45。 【88甄試】 答：(A)(C)(E)
有兩變量X：x1 , x2 , … , xn，Y：y1 , y2 , … , yn，已知Y 2X 7，則
(A)算術平均數 3時， 13 (B)標準差SX 1時，SY 9 (C) X之中位數為3時，Y之中位數為13 (D) X之全距為5時，Y之全距為17 (E) X之四分位差為10時，Y的四分位差為20 (F) X之眾數為65時，Y的眾數為137。
答：(A)(C)(E)(F)
測量一物件的長度9次，得其長（公尺）且9次母體的資料為3.31 , 3.34 , 3.38 ,
3.33 , 3.35 , 3.36 , 3.35 , 3.37 , 3.36，將上面的數據每一個都乘以100，並減去330得一組新數據，則：
(A)新數據算術平均數為5 (B)原數據的 3.45 (C)新數據SY 2
(D)原數據SX 0.02 (E)原數據的中位數為3.36。 答：(A)(C)(D)
一群資料x的n個數值為x1 , x2 , … , xn的四分位差Q.D. ，則資料Y的n個數值5x1 – 2 , 5x2 – 2 , … , 5xn – 2的四分位差Q.D. ______。(以 表之) 答：5
一群資料x的n個數值為x1 , x2 , … , xn的四分位差Q.D. ，則資料Y的n個數值5x1 2 , 5x2 2 , … , 5xn 2的四分位差Q.D. ______。(以 表之) 答：5
十三個正數依大小次序1, 2, 2, 3, a, a, b, c, c, c, 9, 11, 11排成一列，若中位數是6，眾數是8，算術平均數是6，則a ______。 答：
2, 4, 8, 16, 32的幾何平均數為______，算術平均數為______。 答：8；12.4
某球隊參加某次棒球比賽，每局得分的紀錄如下：
設其算術平均數為a，中位數為b，眾數為c，則下列何者正確？
(A) a b c (B) b c a (C) c a b (D)c b a (E) b a c。 答：(D)
有10人在某次考試平均分數為67，標準差為4，若10個人中的8個人得分是61, 63, 64, 65, 67, 68, 71, 72，另二人得分是a, b，若a b，則序組(a, b) ______。
答：(66, 73)
一組資料為xi 5 2 (i – 1)，i 1, 2, 3, … , 100，試求此組資料的
中位數Me 第1四分位數Q1 第3四分位數Q3 Q.D.。
答：104 54 154 100
試求下列13個數值的第1四分位數、第3四分位數與四分位差：
53, 45, 44, 58, 62, 71, 68, 55, 57, 63, 65, 50, 51。 答：Q1 51；Q3 63；Q.D. 12
一組資料為2, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 18，試求：
第1四分位數Q1 第3四分位數Q3 四分位差Q.D.。
答：7 13 6
設有1, 2, 4, 5, 5, 6, 8, 10等8個數值，則其：
四分位差 標準差（答案以根號表之）。 答：4
某班5位同學之體重依次為47, 48, 50, 52, 53，試求：
算術平均數 標準差。 答：50
某班數學老師算出學生學期成績後，鑑於學生平時都很用功，決定每人各加5分（加分後沒人超出滿分），則加分前與加分後，學生成績統計數值絕對不會改變的有 (A)算術平均數 (B)中位數 (C)標準差 (D)變異係數 (E)全距。
【88自】 答：(C)(D)
已知兩種變量X與Y的關係式為2Y 3X 40，又變量X的算術平均數為36，標準差為2.4，試求變量Y的算術平均數 標準差SY。 答：74 3.6
林君欲計算一組已知為30個數值資料的算術平均數 及標準差S，因一時大意，將其中一數“60”多算一次，當時未察覺，仍視為30個數值計算之，得 62,
S 4，事後發覺錯誤必須更正，但原始資料已經廢棄，試推算其正確結果應為
______，S ______（用根號 表之）。 答：60；
提示：x1 x2 … x30 60 30 62 1800,
( (30 62)2 29 42 112184。
有21個數值，其算術平均數為32，標準差為3，今發覺其中“35”一數必須刪除，則所剩20個數值的變異數 為______。 答：8.98
提示：35 21 32 637，又 (21 32)2 20 32
20459, Sxx 20459 6372 170.55
170.55≒8.98。
某人買了11本書，平均價格為52元，標準差為10元，現退回其中一本書，已知該書價格為72元，若不檢視剩下的10本書之價格，則這10本書之平均價格為______，標準差為______元。 答：50；7.89
提示：72 11 52 500，又 (11 52)2 10 102
25560, Sxx 25560 5002 560
50, S ≒7.89。
某班某次考試，成績奇差，總平均為53.6，標準差為13.2，經開會決定每人加15分，則總平均與標準差分別變為多少？ 答：68.6；13.2
設變量x的算術平均數為 ，標準差為S；令y ，試求變量y的算術平均數 與標準差Sy。 答： ；
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