一、單選題：【每題6分，答錯不倒扣】

一、單選題：【每題6分，答錯不倒扣】
1.在1和99之間插入 個數, 使其成一等差數列,則 至少要多少時, 才會使這數列的總和超過20000？　(A)100< <200　(B)200< <300　(C)300< <400　(D)400< <500 　(E)500< <600.
　 解答 　C
　 解析 　

2.下列敘述何者正確？ (A)  0　(B)若 ， 都不存在，則 也不存在　(C)設 為收斂數列，則無窮級數 +…的和為a1　
(D)設 為收斂數列，則 是收斂的　(E)設 是收斂的，則無窮數列 是收斂的
【解答】(E)
【詳解】
(A) 
(B)如 ， 都不存在，但
(C)如   5，5，5，…
但  0  0  …  0  …  0  a1  5
(D)如   5，5，5，…，收斂於5，但  5  5  5 …是發散的
(E)設 收斂於，則 ，
而 　　 　∴　 收斂於0
二、多重選擇題：【每題6分，答錯一個答案給3分，答錯2個答案（含以上）不予計分】
1. 則下列何者為正數？
(A) 　(B) 　(C) 　(D) 　(E) ﹒
　 解答 　ABCD
　 解析 　

2.設a，b  R，多項式f (x)  a(x3  x2)  b(x3  x  2)  x2  ax  2為一次式，則
(A) a  0　(B) b  0　(C) a  b  0　(D) f (x)之領導係數為2　(E) f (x)  2x  4
【解答】(C)(D)
【詳解】
即f (x)  (a  b)x3  (1  a)x2  (a  b)x  2(b  1)為一次式
∴　a  b  0，1  a  0，a  b  0　∴　a  1，b   1，（a  b  0，合）
∴　f (x)之領導係數為a  b  2，f (x)  2x

三、填充題：【每格7分，全對才予計分】
1.將數列 用 表示為　　　　　。
　 解答 　
　 解析 　

‚
2.設三正整數成一等比數列，其和為52，倒數和為 ，則這三正數中最大者為　　　　　。
【解答】36
【詳解】
　　
  得  52  　　  　　3r2  10r  3  0
　(3r  1)(r  3)  0　　r  3或 ，代入得a  4或6
∴　三數為4，12，36或6，2， （不合），故最大者是36

3.設 zn 是一複數等比數列，z1  1  4i且z2  5  3i，若複數等比數列 zn 的前6項總和為a  bi，a，b  R，則a  b之值為　　　　　。【解答】29
【詳解】
公比r    1  i
S6  
     4  33i
所以a  b  (  4)  33  29

4.設x為實數，若無窮數列   收斂，則x的範圍為　　  　。【解答】(1) 　
【詳解】(1)∵　  之公比為x(2x 1)　∴　  收斂
　| x(2x 1) |  1或x(2x 1) 1　　 或
　 或
∵　2x2  x  1  2 　∴　2x2  x 1  0或
　 　∴　
5.如下，一正方形的邊長為 ，以3：4的順序內分各邊，再連各分點得第二個正方形，再以同順序內分第二個正方形各邊，連接各分點得第三個正方形，如此繼續下去，則所有正方形的面積總和為　　　　　。
【解答】
【詳解】
如上圖，正方形ABCD面積  a2，在△AEH中， ，
∴　 ，故正方形EFGH面積
又在△EIL中， ， 　∴　
故正方形IJKL面積 ，故所有正方形的面積成一等比級數公比為
∴　所有正方形的面積總和
6.若多項式f (x)除以2x  3的商為Q (x)，餘式為r，則xf (x)除以2x  3的商為a，餘式為b，則（a,b）為　　  　。　【解答】（xQ (x)  ， ）
【詳解】由f (x)  (2x  3)．Q (x)  r
(C) xf (x)  x(2x  3) Q (x)  rx  x(2x  3) Q (x)  (2x  3) 
∴　xf (x)除以2x  3之商為xQ (x)  ，餘式為


7.若b   2且x4  2x3  7x2  ax  10可被x2  2x  b整除，則a  b 　　　　　。【解答】 1
【詳解】
　　(a，b)  (4，5)，(10， 2)（不合）∴　a  b  4  5   1
8. 設 ﹐則 的值為　(1)2　(2) 　(3) 　(4) ﹒　 解答 　2
　 解析 　 滿足 ﹐化簡得 ﹐
﹐
當 時﹐
﹐
﹒

四、計算證明題【20分，題目在答案卷上，需列算式才予計分】
1. 不論 為任何自然數﹐試證 恆為 的倍數﹒
　 解答 　見解析
　 解析 　當 時﹐原式 　原式成立﹒
‚設 時成立﹐即 （ 為正整數）
ƒ當 時﹐
　　
　　
　　
　　 （ 為自然數）
表示 時原式亦成立﹒
由數學歸納原理知對於所有的正整數 ﹐原式成立﹒
2. 的個位數字恆為6（ 為正整數）﹒
　 解答 　見解析
　 解析 　(1)當 時﹐原數 ﹐命題成立﹒
(2)設 時﹐命題成立﹐即設 （ 為正整數）﹐
當 時﹐



﹐個位數字為6﹐命題也成立﹒
由(1)(2)及數學歸納法原理得證﹒